ÁLGEBRA
Historia de las matemáticas
Omar Khayyam
Abdul-Fath Umar ibn Ibrahim al-Khayyami nació alrededor del año 1040, en Nishapur de Khurasan, ahora territorio de Irán. Omar Khayyam escribió el Rubaiyat, un cierto número de cuartetos traducidos libremente al inglés por Edward Fitzgerald, a mediados del siglo pasado, es uno de los libros más conocidos y más traducidos de la literatura universal. Pero lo que no es tan conocido fuera del mundo islámico, es que el poeta fue tambien un distinguido matemático, astrónomo y filósofo.
En 1074 escribió su gran obra de álgebra. Clasificó las
ecuaciones según su grado y daba reglas para resolver las ecuaciones cuadráticas, muy similares a las que utilizamos actualmente. También dio un método geométrico para resolver ecuaciones cúbicas con raíces reales y escribió acerca de la disposición en triángulo de los
coeficientes del binomio conocida como triángulo de Pascal.
En 1077, Omar escribió Sharh ma ashkala min musadarat kitabUqlidis (Explicaciones de las dificultades de los postulados de Euclides). Este libro trata del famoso postulado de las paralelas que había atraído tambien la atención de Thabit ibn Qurra. Otra obra notable de Omar, en geometría, fue sobre la teoría de la proporción de Euclides, tal y como está expresada en los Elementos, poseía dos dimensiones, una aritmética y otra geométrica. La definición aritmética de Euclides de la igualdad de razones es que dos razones a/b y c/d son iguales si se satisfacen las condiciones siguientes:
1. Si ma > nb entonces mc > nd.
2. Si ma = nb entonces mc = nd.
3. Si ma < nb entonces mc < nd.
Omar sugirió que dos o más razones se podían definir como iguales si podían reducirse a una razón de números enteros hasta un alto grado de exactitud. El carácter inductivo de Omar, le hizo tener sus reservas respecto a esta definición. Omar sugirió que dos o más razones se
podían definir como iguales, si podían reducirse a una razón de números enteros hasta un alto grado de exactitud. Así la razón de la diagonal de un cuadrado a su longitud (que es la raíz cuadrada de 2) o la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro (que es π) no
puede nunca igualarse a ninguna otra razón. Para Omar, tales números no quedan excluidos en la definición
de Euclides de razones iguales, y así la definición no es correcta. Euclides consideró números racionales en su interpretación aritmética de las razones; la contribución de Omar consistió en ampliar el concepto de número hasta incluir en él los números irracionales positivos.
Omar Khayyam murió en Nishapur en 1123. Fue un intelectual retraído, y un poeta. En definitiva, fue esa rara combinación de un poeta extraordinario y un matemático.
“Quienquiera que piense que el álgebra es un sistema de
trucos para obtener los valores de incógnitas, piensa vanamente. No se debe prestar ninguna atención al hecho de que el álgebra y la geometría son en aparencia diferentes. Los hechos del álgebra son hechos geométricos que están demostrados”.
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Polinomios generadores de números primos
El polinomio n^2+n+41 es bien conocido como generador de números primos. Bueno, genera unos cuantos, no nos vayamos a emocionar. Como decía, se sabe que este polinomio genera números primos distintos para valores de n desde 0 a 39, como ya vimos aquí hace ya bastante tiempo. Este hecho parece ser que era conocido ya por Euler, y la lista de esos números primos es la siguiente: 41,43,47,53,61,71,83,97,113,131,151,173,197,223,251,281,313,347,383,421,461,503, 547,593,641,691,743,797,853,911,971,1033,1097,1163,1231,1301,1373,1447,1523,1601
Para n=40 el resultado es 1681, que no es primo ya que 1681=41^2.
Cierto es que mediante interpolación podemos construir un polinomio p(n) que genere los números primos que queramos a partir de los valores que elijamos (por ejemplo, un polinomio que dé unos ciertos números primos concretos para n desde 0 a 1000), pero posiblemente el grado del mismo nos quede enorme y con unos coeficientes tremendos. Lo interesante del polinomio de Euler es su bajo grado, 2, y sus sencillos coeficientes.
Y aquí la pregunta es obligada: ¿qué otros polinomios de expresión sencilla generan una aceptable cantidad de números primos?
Pues sí, hay más. Uno de ellos, por ejemplo, es n^2-n+41, que es prácticamente igual al anterior…y que en realidad no aporta mucho al asunto. Da primos para n de 0 a 40 (es decir, uno más que el anterior), pero de 1 a 40 salen los mismos que en el caso anterior y el que da de más es repetido. Concretamente es el 41, que aparece para n igual a 0 y a 1.