HISTORIA DE LAS FUNCIONES
Lo más apropiado, quizás, sea comenzar en Mesopotamia . En las matemáticas babilónicas encontramos tablas con los cuadrados, los cubos y los inversos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N en N o de N en R, lo que no implica que los babilonios conocieran el concepto de función. Conocían y manejaban funciones específicas, pero no el concepto abstracto y moderno de función. En el antiguo Egipto también aparecen ejemplos de usos de funciones particulares. Una tabla con la descomposición de 2/n en fracciones unitarias para los impares n desde 5 hasta 101 aparece en el Papiro Rhind o Papiro Ahmes, de unos 4000 años de antigüedad considerado como el primer tratado de matemáticas que se conserva. Detalle del Papiro Ahmes. En la Grecia clásica también manejaron funciones particulares —incluso en un sentido moderno de relación entre los elementos de dos conjuntos y no sólo de fórmula— pero es poco probable que comprendieran el concepto abstracto (y moderno) de función.
La mayor parte de los historiadores de las matemáticas parecen estar de acuerdo en atribuir a Nicole Oresme (1323- 1382) la primera aproximación al concepto de función, cuando describió las leyes de la naturaleza como relaciones de dependencia entre dos magnitudes. Fue el primero en hacer uso sistemático de diagramas para representar magnitudes variables en un plano.6 En la revolución científica iniciada en el siglo XVI los científicos centraron su atención en los fenómenos de la naturaleza, poniendo énfasis en las relaciones entre las variables que determinaban dichos fenómenos y que podían ser expresadas en términos matemáticos. Era necesario comparar las variables, relacionarlas, expresarlas mediante números y representarlas en algún sistema geométrico adecuado. Galileo Galilei (1564-1642) pareció entender el concepto de función aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables.
Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Renè Descartes (1596- 1650) introducía la geometría analítica. Descartes desarrolló y llevó a sus fundamentales consecuencias las ideas que siglos atrás se habían usado para representar en el plano relaciones entre magnitudes. Ahora cualquier curva del plano podía ser expresada en términos de ecuaciones y cualquier ecuación que relacionara dos variables podía ser representada geométricamente en un plano8 . A finales del siglo XVII aparece por primera vez el término función. En palabras de Johann Bernoulli, una función es “una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes”. Pero no fue hasta 1748 cuando concepto de función saltó a la fama en matemáticas. Leonhard Euler, uno de los grandes genios de las matemáticas de todos los tiempos, publicó un libro, Introducción al análisis infinito, en el definió función como:
Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.
Pero Euler no define expresión analítica. Así que poco después, en 1755, tuvo que precisar su definición: Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas.
Pero la cosa seguía sin estar clara del todo: ¿cómo es esa dependencia?, ¿cómo expresarla, calcularla o representarla?, ¿cómo deben cambiar los valores de las variables?, ¿cuántas variables pueden intervenir?, ...
Muchos matemáticos abordaron el problema de dar una definición precisa y adecuada de función. Y así se pasaron casi dos siglos, puliendo poco a poco el concepto, hasta que, ya en el siglo XX, Edouard Goursat dio en 1923 la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día: Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x)
FUNCIÓN, CORRESPONDENCIA, ENUNCIADOS, TABLAS, GRÁFICAS,....
GRÁFICA ES FUNCIÓN SI O NO
DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN A TRAVÉS DE SUS GRÁFICAS
GRÁFICA DE LA VIDA REAL: RESPONDER PREGUNTAS
GRÁFICAS CONTINUAS Y DISCONTINUAS
PERIODICIDAD DE UNA FUNCIÓN
SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN
MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN
MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES
ECUACIÓN LINEAL Y SU PENDIENTE
FUNCION DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
FUNCIÓN CONSTANTE
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA
ECUACIÓN GENERAL DE UNA RECTA
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS SEGÚN LAS PENDIENTES
CONCEPTO DE FUNCIÓN CUADRÁTICA
REPRESENTAR GRÁFICAMENTE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
PROBLEMA APLICACIÓN VIDA REAL SOBRE FUNCIONES CUADRÁTICAS
DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN
INTERPRETAR GRÁFICAS PROBLEMAS VIDA REAL
MONOTONÍA DE UNA GRÁFICA: MÁXIMOS Y MÍNIMOS
MONOTONÍA DE UNA GRÁFICA: MÁXIMOS Y MÍNIMOS II
FUNCIÓN PROPORCIONALIDAD DIRECTA
ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE DE LA RECTA
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
CONCEPTO DE FUNCIÓN CUADRÁTICA
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Las funciones determinan las relaciones que existen entre distintas magnitudes tanto en Matemáticas, como en Física, Química, Medicina, Estadística, Economía, Ingeniería, Psicología... y permiten, entre otras muchas cosas, poder calcular los valores de cada una de ellas en función de otras de las que depende. Los principales tipos de funciones son:
Funciones lineales.
Funciones cuadráticas.
Funciones racionales
1. LAS FUNCIONES LINEALES
Son las funciones polinómicas de primer grado.
La representación gráfica será una recta cuya pendiente nos informa de la rapidez de la variación de una magnitud con respecto a la otra y la ordenada en el origen nos informa sobre las condiciones iniciales.
Un caso particular de funciones lineales son funciones de proporcionalidad en las que las magnitudes que se relacionan son directamente proporcionales.
Por ejemplo, en economía decimos que "el precio de una compra es directamente proporcional al número de unidades compradas de un cierto producto", por lo tanto la función que relaciona ambas magnitudes es una función de proporcionalidad.
Veamos este otro ejemplo: "El precio de la factura de la luz depende de una cantidad fija (alquiler del contador...) más una cantidad variable que es proporcional al consumo efectuado". En este caso, la relación entre el consumo efectuado y el coste de la factura viene dado por una función afín (también considerada como el caso general de función lineal)
En economía hay dos funciones que tienen especial trascendencia, como son la función de la oferta y la función de la demanda, que se consideran lineales y son las dos funciones que determinan el equilibrio de mercado.
También se aplica al cálculo de costos y precios de productos, consumo de productos...
En física se estudia el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en el cual, la posición de un móvil en función del tiempo viene dada mediante funciones lineales.
En la ciencia en general se utilizan con mucha frecuencia, por ejemplo, para hallar tasas de variación (por ejemplo, en el cálculo de velocidades o en el estudio de reacciones químicas).
También se usan para efectuar cambios de unidades de medida (por ejemplo, pasar de kilómetros a millas, o de grados centígrados a grados Fahrenhein) y para realizar predicciones siempre que la relación entre las variables sea aproximadamente lineal.
2. LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
Son las funciones polinómicas de segundo grado.
Se usan con mucha frecuencia en la ciencia, los negocios y la ingeniería.
En el ámbito científico, la parábola puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente o el botar de una pelota, y otras muchas situaciones físicas en las que interviene la gravedad.
En física, permite estudiar con precisión el tiro parabólico (por ejemplo, la trayectoria de un proyectil, la trayectoria de un balón lanzado a canasta...) y los movimientos uniformemente acelerados (MUA)
En economía, las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, y determinar los valores máximos y mínimos puesto que en muchas ocasiones la función "ingresos" sigue un modelo cuadrático.
En ingeniería civil, se usan las funciones cuadráticas en la construcción de muchos edificios, puentes...
3. LAS FUNCIONES RACIONALES
Son aquellas funciones cuya expresión analítica viene dada por un cociente de polinomios.
Las más sencillas son las funciones de proporcionalidad inversa, que relacionan dos variables que son inversamente proporcionales.
La función de proporcionalidad inversa aparece en numerosos fenómenos físicos y sociales. Algunos casos comunes ilustrativos de la aplicación de este tipo de funciones serían:
La relación entre el caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito de una capacidad determinada.
La relación entre el número de pacientes que asiste a una consulta médica de horario limitado y el tiempo que puede dedicar el médico a cada paciente.
La relación entre la intensidad de corriente y la resistencia eléctrica en una porción de circuito sometida a una diferencia de potencial constante, conocida como ley de Ohm: V = I x R . La intensidad y la resistencia son magnitudes inversamente proporcionales.
La relación entre la presión y el volumen en un gas ideal sometido a una temperatura constante k, que sigue el principio conocido como ley de Boyle-Mariotte: P x V = k.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados obtenidos en otras funciones más complejas ya que son simples de calcular pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.