POTENCIAS Y RAÍCES
Historia de las matemáticas
Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió en San Petersburgo.
Matemático suizo, uno de los más grandes de todos los tiempos. Trabajó todas las ramas conocidas en su época y a todas aportó algo.
Pasó su infancia en Riehen un pueblecito en las cercanías de Basilea. Su padre, alumno de Bernuilli, era pastor calvinista y esperaba que su hijo siguiera la carrera de Teología, pero su amistad con los Bernouilli hizo despertar su vocación por las matemáticas. Johan Bernouilli fue su tutor y profesor de matemáticas. Los sábados por la mañana iba su casa a resolver dudas, ya que Bernouilli le había reservado una sesión semanal. Para Euler era una cuestión de amor propio reducir el número de preguntas a su maestro. Fue amigo de los hijos de Bernoulli; Nikolaus, Daniel y Johann II.
En 1720 se matriculó en la Facultad de Filosofía y más tarde en Teología en la Universidad de Basilea alcanzando el Magíster en Filosofía en 1724.
Se presentó a la cátedra de Física pero fue rechazado por su juventud y ese mismo año recibió una mención honorífica de la Academia de Ciencias de París por su trabajo “disposición óptima de los mástiles de un barco” aunque nunca había visto navegar un barco.
En 1725 cursó Medicina, con la esperanza de obtener una plaza en San Petersburgo. Pero el mismo día de su llegada a Rusia moría la Emperatriz Catalina I fundadora junto a su esposo Pedro I el Grande de la Academia que estuvo a punto de sucumbir con los nuevos gobernantes. Ese mismo año se alistó en la marina rusa, con el grado de lugarteniente y allí aprendió los principales aspectos relativos a la estructura y funcionamiento de las naves, llegando a convertirse en una verdadera autoridad naval. En 1730 abandonó la marina debido a que le concedieron la cátedra de Física y en 1733 la de Matemáticas que había dejado su amigo Daniel Bernuilli.
El 27 de Diciembre de 1733 a los 27 años se casó con Katharina Gsell, hija de un pintor sueco con la que tuvo 13 hijos de los que sobrevivieron 5, tres hijos y 2 hijas. De los 5 supervivientes tuvo 32 nietos. En 1773 murió su mujer y se volvió a casar con Salomé Abigail Gssell hermanastra de su mujer.
De 1727 a 1741 trabajó para el gobierno ruso como director del departamento de geografía y como comisario de pesas y medidas. Así participó en el análisis cartográfico de Rusia.
Resolviendo un problema perdió la vista de su ojo derecho a los 33 años.
Fue llamado a Berlín por Federico II de Prusia, que le ofreció una cátedra en su Academia. Euler solicitó permiso al gobierno ruso para trasladarse a Berlín, y éste no sólo se lo concedió, sino que siguió pagándole sus honorarios de académico en San Petersburgo.
Se incorpora a Berlín en 1741, enviando sus memorias a la Academia de Prusia y a la de San Petersburgo. Aunque Federico el Grande no fuera un entendido en Matemáticas apreciaba el trabajo de Euler y le creó una serie de trabajos prácticos como acuñación de moneda, conducciones de agua, canales de navegación, nivelación del canal de Finow, la creación de Montepíos de viudedad, Instalación de juegos de agua… Su estancia en Berlín no fue feliz , perdió su otro ojo y el rey prefería los intelectuales. Aún así estuvo residiendo 25 años en la Corte de Federico el Grande.
En 1776, Catalina II de Rusia le invita a volver a la Academia de San Petersburgo; Euler decide volver, aunque los médicos le advierten de que el riguroso clima de la capital rusa le haría perder por completo la vista. Es recibido en San Petersburgo como una gran personalidad.
Tal como le advirtieron los médicos, Euler perdió la vista casi por completo; sólo conservó la capacidad de distinguir los trazos gruesos de la tiza en la pizarra, con lo que su capacidad de trabajo no disminuyó.
En 1773 recobra la vista después de someterse a una operación, pero no tardará en volverla a perder y así vivió 17 años con su ceguera. Aunque ciego no dejó sus trabajos, primero empleaba una pizarra y más tarde dictaba a sus colaboradores las publicaciones.
En 1777, su casa fue destruida por un incendio, pero gracias al conde de Orloff, se salvaron sus manuscritos.
Pasó sus últimos días jugando con sus nietos y discutiendo las últimas teorías sobre el planeta Urano.
Murió el 8 (18) de Septiembre de 1783, repentinamente, mientras fumaba y tomaba el té con su familia. Fue enterrado en San Petersburgo.
Descubrió la igualdad C + V = A + 2.
Demostró que el baricentro, ortocentro y circuncentro están alineados. Recta de Euler.
Argumentó que el infinito separaba los números positivos de los negativos de forma similar a como lo hace el cero.
Definió las funciones logarítmicas y exponenciales.
Desarrolló el cálculo de números complejos, demostrando que tiene infinitos logaritmos.
Resolvió el problema de los Puentes de Konigsberg.
Introdujo los símbolos e, f(x), el sumatoria y la letra pi para dicho número (el honor a Pitágoras ya que era la inical de su nombre).
Clasificó las funciones y formuló el criterio para determinar sus propiedades.
Elaboró e introdujo la integración doble.
Descubrió el teorema de la composición de integrales elípticas.
Dedujo la ecuación diferencial de la línea geodésica sobre una superficie.
Introdujo la ecuación de la expansión volumétrica de los líquidos.
Fue el padre de la Teoría de Gráficas.
Amplió y perfeccionó la geometría plana y de sólidos.
Demostró que podían conseguirse objetivos acromáticos de foco finito, asociando dos tipos de vidrios distintos.
Fue el primero en considerar el seno y el coseno como funciones.
Introdujo los factores integrantes en las ecuaciones diferenciales.
Generalizó la congruencia de Fermat, introduciendo una expresión que Gauss denominó "indicador".
Se adelantó a Legendre en el descubrimiento de la "ley de reciprocidad" de los restos cuadráticos.
Añadió el "cuadrado latino" a los cuadrados mágicos (“padre” de los famosos “sudokus”).
Ideó métodos para el desarrollo en serie de raíces.
Inició el estudio de las funciones simétricas de las raíces.
En álgebra, ideó métodos de eliminación y descomposición en fracciones simples.
A él se debe la utilización de letras minúsculas para designar los lados de un triángulo y de las mayúsculas para los vértices.
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PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS EJERCICIOS POTENCIAS I
EJERCICIOS POTENCIAS II
RAICES N-ÉSIMAS EXACTAS
SUMA Y RESTA DE RADICALES
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NOTACIÓN CIENTÍFICA
SUMA Y RESTA EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
Rincón de curiosidades
Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que, paradójicamente, nombramos con una letra:
• El número designado con la letra griega π = 3,14159… (pi) relaciona la longitud de la circunferencia con su radio (longitud = 2 · π · r ).
• El número e = 2,71828…, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo
XVIII).
• El número designado con la letra griega F = 1,61803… (fi), llamado número de oro, es la inicial del nombre del escultor griego Fidias, que lo utilizó en sus obras.
Los tres números tienen infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se repiten periódicamente). Son, por tanto, números irracionales.
Desde el punto de vista matemático, existe una diferencia importante entre los dos primeros y el tercero: mientras que π y e no son solución de ninguna ecuación polinómica, el número de oro, F = 1 + √5 , es una de
las soluciones de la ecuación de segundo grado x 2 – x – 1 = 0.
EL NÚMERO π
Ya en la antigüedad, los calculistas notaron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre su perímetro y su radio. En el siglo XVII la relación se convirtió en un número, y fue identificado con el nombre de “pi”, de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo.
A lo largo de la Historia, el valor del número π ha tenido muchas variaciones:
• En el antiguo Egipto, se tomaba π = 3,1605 y en la antigua Babilonia, era π = 3.
•
En China, las aproximaciones para π fueron varias: 3,1447; 3,10; 3,14.
• En Europa, Arquímedes sabía que π cumplía la siguiente relación:
3 + 10 < π < 3 + 1
71 7
• En la Biblia, π es 3.
• Los árabes, trabajando con polígonos inscritos en una circunferencia, obtuvieron hasta 17 decimales exactos de π.
Así, el número de decimales hallados para π fue aumentando hasta llegar al siglo XX. La aparición de los ordenadores permitió trabajar con más rapidez y, en el momento actual, el récord de cifras decimales encontradas para este número sobrepasa los mil millones.
EL NÚMERO e
El número e es un número real cuyo valor es 2,718281828459…
Leonhard Euler, matemático del siglo XVIII, fue el primero en estudiar este número (calculó hasta 23 de sus ci- fras decimales) y en utilizar la letra e para nombrarlo.
Con la llegada de los ordenadores, el cálculo se simplificó y rápidamente los progresos fueron enormes. Así, por ejemplo, en el año 2000, utilizando un programa de cálculo en un ordenador Pentium III 800, se obtuvieron 12 884 901 000 cifras decimales de este número, para lo que se necesitaron 167 horas.
Son muchas las aplicaciones que tiene este número:
• Una cadena o un cable colgados por sus extremos, tienden a adoptar la forma de una curva muy conocida cu- ya expresión analítica es:
f (x) = e x + e –x
2
• Para determinar de una manera aproximada la antigüedad de un objeto que está formado por materia orgáni- ca, se mide la cantidad de carbono 14 que contiene. Los seres vivos tienen una cantidad de carbono 14 cons- tante. Cuando un ser vivo muere, esta cantidad se va desintegrando. La función que regula la desintegración se determina con la siguiente fórmula:
Q = Q0 · e –0,000124 · t
donde Q es la cantidad final de carbono 14, Q0 es la cantidad inicial y t es el tiempo transcurrido.
• Una de las numerosas aplicaciones del número e en biología es el crecimiento exponencial de poblaciones. Este tipo de crecimiento surge cuando no hay factores que limiten el crecimiento. En esos casos se aplica la fórmula:
P = P0 · e t
que permite averiguar cuál será la población P en un tiempo t a partir de la población inicial P0.
EL NÚMERO DE ORO, F
Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el matemático Mark Borr designó al número áureo con su símbolo F (fi, sexta letra del abecedario griego) en honor a Fidias, sus comienzos se sitúan en Egipto por su aparición en construcciones de pirámides que datan del 2600 a.C.
No obstante, fueron los griegos quienes explotaron al máximo este número, usándolo en todas las facetas del ar- te. Concretamente, los seguidores de Pitágoras tenían la estrellaregular de cinco puntas (obtenida con las dia-
gonales de un pentágono regular y en la que F aparecía como proporción entre la diagonal del pentágono y su lado) como figura emblema de su sociedad, hasta el punto de llevarla tatuada en el dorso de sus manos. Esta es- trella representaba la vida y, puesta con el vértice superior hacia abajo, lo maléfico.
Esta figura les fascinaba por lo que en ella se puede encontrar (segmentos proporcionales, triángulossemejan- tes…), pero, sobre todo, por su carácter de autorreproductividad hasta el infinito:
• Si se prolongan los lados del pentágono hasta que se encuentren, se obtiene una estrella proporcionalmente mayor a la del interior del pentágono.
• En el hueco interno que dejan las diagonales, aparece un pentágono menor que, a su vez, origina una estrella proporcionalmente más pequeña. Y así hasta el infinito.
El número áureo también se usó mucho en la época del Renacimiento, especialmente en las artes plásticas y en arquitectura. Se consideraba que era la proporción perfecta entre los lados de un rectángulo (rectángulo áureo), y con él se conseguía el equilibrio y la belleza.
Hoy en día, dicho número se puede ver en multitud de diseños: tarjetas de crédito, nuestro DNI...
La arquitectura moderna sigue valiéndose, en sus edificaciones, de la proporción áurea. Está presente, por ejemplo, en el edificio de la ONU en Nueva York (prisma rectangular cuya cara mayor sigue las citadas proporciones).
La fascinación que el número áureo ha provocado a lo largo de la Historia, se ha visto plasmada también en la literatura. Rafael Alberti escribió un soneto dedicado a dichonúmero:
A ti, maravillosa disciplina
Media, extrema razón de la hermosura,
Que claramente acata la clausura
Viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
Áurea sección, celeste cuadratura
Misteriosa fontana de mesura,
Que el universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
Flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.