GEOMETRÍA ANALÍTICA
Historia de las matemáticas
Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas.
Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática.
La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto en un plano.
Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, y como vimos, relaciona la matemática y el álgebra con la geometría por medio de las correspondencias anteriores.
Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas.
En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado.
Por lo expresado anteriormente, podemos aventurar una definición más sencilla para la geometría analítica:
Rama de la geometría en que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas.
En la práctica, eso significa que cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares (Plano cartesiano) anotando las distancias desde dicho punto a cada uno de los ejes.
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Punto medio de un segmento
Simétrico de un punto respecto de otro
Rectas paralelas a los ejes de coordenadas
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Distancia entre dos puntos
Ecuación de la circunferencia
Rincón de curiosidades
Cuenta la historia que el rey Ptolomeo preguntó a Euclides, al constatar lo voluminosa que era su obra "Elementos", si no había un camino más corto para estudiar y dominar la Geometría. Euclides le respondió: "En Geometría no existe un camino especial para los reyes".
Muchas teorías matemáticas interesantes han surgido de la reflexión profunda en busca de una solución para ciertos problemas que plantea la vida cotidiana. Otras, sin embargo, han sido el fruto de la curiosidad extraordinaria de algunos matemáticos, y su deseo de descubrir leyes inquebrantables que gobiernen el comportamiento de los objetos matemáticos.
La Geometría fue una herramienta útil en estas actividades, y entre los egipcios se desarrolló con fines muy prácticos. Para los griegos, por otra parte, las Matemáticas y en particular la Geometría tenían un carácter casi filosófico. A través de su estudio, se pretendía encontrar verdades absolutas en ese mundo de las ideas y de las figuras geométricas. El interés por resolver problemas prácticos no era el que impulsaba el desarrollo de la Matemática.
Por ejemplo, la Geometría fue estudiada por los egipcios para resolver cuestiones de agricultura. El río Nilo tenía períodos de grandes crecidas que dejaban bajo sus aguas grandes extensiones de tierra cultivable.
Cuando descendía el nivel de las aguas, en estas tierras ubicadas en los márgenes del río se habían borrado los linderos de las parcelas, y le correspondía a los funcionarios del gobierno colocar de nuevo los límites para evitar conflictos entre los agricultores.
En ese espíritu de curiosidad por las relaciones entre los elementos de las figuras geométricas, se construyó la Geometría en la Grecia antigua y Euclides recogió todo ese conocimiento en su gran obra, "Elementos".