Debido a la dificultad de iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje en el ámbito de la Proporción, resulta interesante realizar una retrospección sobre como el concepto y su uso ha ido evolucionando a lo largo de la Historia. Por esto, en este artículo quiero hablaros de la retrospección sobre el concepto de la proporcionalidad.
Como podemos ver en el trabajo de Oller y Gairín (2013), el pensamiento proporcional, fue utilizado como herramienta resolutiva de problemas desde la antigüedad. Los autores nos arrojan como ejemplo el Papiro de Rhind egipcio, que data del siglo XVII a.C. Ya en este texto tan pretérito, se puede encontrar la evidencia del uso de la proporcionalidad para atender las exigencias de problemas mercantiles. Además de este papiro, existen otros ejemplos distribuidos por la geografía y el tiempo, como textos chinos e hindúes. Los autores remarcan algo de suma importancia; las formas de resolución de estos problemas antiguos son similares a los actuales, pese a su lejanía, a los métodos griegos que heredamos.
Papiro de Rhind
Es en esta cultura mediterránea, donde se encuentra la obra de Euclides llamada Elementos. Este tratado matemático dividido en trece libros (de los cuales solo dos, el V y el VII, tratan sobre la proporcionalidad) data del siglo III a.C. aproximadamente. En él, puede verse como se muestra la teoría proporcional en la tradición griega posterior a la muerte de Alejandro Magno. Sin embargo, no hace mención de las problemáticas que suscita dicha hipótesis. Uno de los defectos de este texto que señalan los autores, es la falta de rigurosidad sobre la definición del término de razón, ya que en él se dice, que la razón entre dos magnitudes homogéneas guarda relación con su tamaño, sin especificar más. Por tanto, estamos ante una visión de carácter no numérico de las razones, ya que la definición deja claro que la razón no es un número. Para reforzar esa idea, durante el tratado de Euclides, nunca se habla de igualdad entre razones de forma concisa.
Parece ser consensuado que el primer método de proporciones, fue el proceso de antifairesis presentado en el libro VII de Euclides. El método consiste en partir de dos números enteros positivos o magnitudes homogéneas, Tomamos el mayor número, al que le restamos el menor tantas veces como sea posible, hasta obtener una nueva pareja de números enteros positivos. Realizaremos este mismo procedimiento con la nueva pareja, tomando de inicio el número más pequeño; y así sucesivamente.
La importancia del método reside en el proceso en sí y no en los números que aparecen durante el proceso. Para aclarar el proceso, calcularemos la antifairesis de 18 y 5. Comenzaremos restando 5 a 18 tantas veces como sea posible; en concreto 3 veces:
(18, 5) → (13, 5) → (8, 5) → (3, 5).
A continuación, invertiremos los papeles del 3 y del 5, con los que repetiremos el proceso anterior:
(5, 3) → (2, 3).
Nuevamente invertimos los números 2 y 3:
(3, 2) → (1, 2).
Análogamente para los números 1 y 2, tenemos:
(2, 1) → (1, 1) → (0, 1).
El proceso termina debido a la aparición del 0. Contemplando las sucesivas restas que hemos realizado en este proceso, tenemos que la antifairesis del 18 y 5 sería la sucesión {3, 1, 1, 2}.
Contemplando únicamente una visión matemática, podemos darle un significado a la sucesión {3, 1, 1, 2}, como indica Fowler (1979) (citado en Oller y Gairín, 2013, p. 321).
Debido a que los costes de llevar a la práctica esta teoría, eran mayores que los frutos que daba, esta quedó relegada exclusivamente al mundo aritmético y anclada al libro V. Fue Eudoxo quien rescataría la parte teórica de las magnitudes, aunque no matizaba ni abordaba el concepto de razón, sino que solo se centraba en definir aquellos elementos que se relacionaban con la geometría.
DISCUTIR RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES
TABLAS PROPORCIONALIDAD DIRECTA
PROBLEMAS REGLA DE 3 DIRECTA
REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
PROBLEMAS DE PORCENTAJES
TABLAS DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
PROBLEMA REGLA DE 3 INVERSA
PROBLEMAS REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES
PROBLEMAS REGLA DE 3 COMPUESTA
PROBLEMAS INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
CUESTIONARIO MAGNITUDES INVERSA O DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
EJERCICIOS TABLAS MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
PROBLEMAS REGLA DE 3 SIMPLE DIRECTA
REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
EJERCICIOS COMPLETAR TABLAS PROPORCIONALIDAD INVERSA
PROBLEMAS REGLA DE 3 SIMPLE INVERSA
PROBLEMAS REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
Abraham Lincoln y la regla de tres
La multiplicación es un fastidio;
la división es igual de mala;
la regla de tres me desconcierta,
y la práctica me vuelve loco.
John Napier, 1570.
John Napier.
Los versos que encabezan este artículo corresponden a una canción infantil, La multiplicación es un fastidio, que se remonta a un documento isabelino de 1570 titulado Descripción de la admirable tabla de logaritmos, escrito por el matemático escocés John Napier (1550-1617) e impreso para Simon Waterson en 1618.
John Napier fue reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. De hecho, de su nombre latino, Ioannes Neper, viene el de los logaritmos neperianos.
Napier fue también el inventor de un ábaco, cuya descripción se publicó en su obra Rhabdologia, impresa en Edimburgo a finales de 1617. Ese ábaco se conoce en inglés con el curioso nombre de “huesos de Napier”, un primer dispositivo mecánico para calcular la multiplicación y la división.
Napier era hijo de personajes ilustres: su padre era sir Archibald Napier, terrateniente de Merchiston. Naper nació en el castillo de Merchiston, y fue apodado por ello como “el maravilloso Merchiston”.
Volvamos a la regla de tres que “desconcertaba” al matemático. Mucho más adelante en el tiempo, Abraham Lincoln, en una breve biografía proporcionada a los amigos que respaldaban su candidatura en 1860, escribió: “Sabía leer, escribir y calcular con la regla de tres; pero eso era todo”. Parece que la regla de tres tenía un valor en aquellos tiempos.
Sabemos que la regla de tres es una forma de resolver proporciones, que se resuelven con multiplicación cruzada en la que el problema se plantea de forma que la cantidad desconocida es el último extremo de una serie de números que presentan una relación proporcional.
Conocemos a, b y c, y calculamos x. Y eso en cuanto a la regla de tres simple o directa, que ya sabemos que podemos complicarlo más con la regla de tres inversa y la compuesta.
En mis tiempos de escolar me tocó resolver muchos problemas de aritmética con la regla de tres, que se convertía en la panacea universal. Esto es lo que probablemente le tocó hacer a Lincoln en sus tiempos como joven tendero en New Salem (aunque estudió muchas otras cosas de matemáticas, como los elementos de Euclides). Seguramente este aprendizaje con los números le ayudó en sus posteriores tareas como presidente de los Estados Unidos.
La regla de tres era conocida por los árabes, como al-Jwarizmi en su Álgebra, y al-Biruni (973-1050), quien dedica una obra completa a este tema, Sobre las reglas de tres de la India. Aryabhatiya la describió en estos poéticos términos:
“En la regla de tres multiplica el fruto por el deseo y divide por la medida; el resultado será el fruto del deseo”.
La regla de tres ha sido recogida en muchos textos. Por ejemplo, en la canción del jardinero loco, Lewis Carroll incluye las líneas:
“Creyó ver una puerta de jardín
que se abría con una llave:
volvió a mirar, y descubrió que era
una doble regla de tres”.
Y también Rudyard Kipling la menciona en El Libro de la selva:
Puedes resolverlo por fracciones o por simple regla de tres,
pero el camino de Tweedle-dum no es el camino de Tweedle-dee.
Puedes retorcerlo, puedes girarlo, puedes trenzarlo hasta que se te caiga,
pero el camino de Pilly Winky no es el camino de Winkie Pop.
En Francia se usa la regla de tres al menos a partir de 1520, aunque todo indica que ya se empleaba algunos siglos antes. En L’arithmétique nouvellement composée, Estienne de La Roche le dedica un capítulo entero, y la considera la regla más bella de todas.
La receta se popularizó a principios del siglo XVIII gracias a las numerosas ediciones del libro de François Barrême, L’Arithmétique du sieur Barrême, ou le livre facile pour apprendre l’arithmétique de soi-même et sans maître. Este es autor de obras de cálculos prácticos y tablas de correspondencia que han pasado a la posteridad con el nombre de baremos.
Barrême no se preocupa ya por la proporcionalidad, pero en el artículo de la Enciclopedia de Diderot y d’Alembert sí existe esta preocupación. Los dos enciclopedistas la denominan “regla de oro”. Y esa presentación como la regla en sí o como fruto de proporciones continúa en décadas posteriores.
Como ejemplo, cuando entres 1960 y 1970 se introducen las mal llamadas “matemáticas modernas”, se busca la interpretación detrás de la regla de tres, poniendo de relieve el concepto matemático que la sustenta, la proporcionalidad.
En 1963, Gilbert Walusinski, miembro de la Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP), escribió un artículo titulado La regla de tres no tendrá lugar, parafraseando la obra teatral de Jean Giraudoux, criticando el automatismo de la regla de tres y proponiendo problemas en situaciones que movilizaran el espíritu crítico de los alumnos.
Bastan unos ejemplos sencillos para darse cuenta de la insustancialidad de la regla de tres:
Si un círculo de radio 2 metros tiene un área de 4 π, entonces uno de radio 4 metros tendría, si aplicamos la regla de tres, 8 π, cuando la respuesta correcta es 16 π. Porque la relación entre el área del círculo y su radio no es lineal, es cuadrática.
Si Juanito tiene a los 5 años una estatura de 1,25 metros, cuando tenga 10 años, mediría 2,50 metros, un futuro jugador de la NBA.
Así podríamos seguir indefinidamente.
La enseñanza de las matemáticas en España no difieren mucho de lo que ocurre en Francia (y, en realidad, en cualquier otro país porque los problemas son parecidos en casi todos).
No defiendo la vuelta a aquellas “matemáticas modernas”, aunque no las repudio, porque el grupo Bourbaki perseguía una mejor fundamentación de las matemáticas y consiguió un impacto que no se ha detenido (es lo que pasa cuando pones a grandes mentes a pensar juntas).
Cuestionar lo que se hace en cada momento supone siempre reflexionar sobre lo que es mejor, y eso nos puede llevar a cambios sustanciales. Pero sí veo claro que repetir una y otra vez ejercicios sin saber qué es en realidad lo que se está haciendo no va a suponer que se mejore el nivel matemático de nuestros alumnos.
Es mucho más útil para sus mentes conocer cómo unas cantidades se relacionan con otras, que aplicar reglas de oro sin un análisis de su aplicabilidad al caso en cuestión.