UNIDAD 8: PROBABILIDAD

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

HISTORIA DE LA COMBINATORIA

Se puede considerar que en Occidente la combinatoria surge en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal » y de Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que formaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad, contenían asimismo los principios para determinar el número de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se estableció la tradicional conexión entre combinatoria y probabilidad.

El término “combinatoria” tal y como lo usamos actualmente fue introducido por Wihem Leibniz en su Dissertartio de Arte Combinatoria. De gran importancia para la consolidación de la combinatoria fue el artículo de Ars Conjectandi (el arte de conjeturar) de J.Bernouilli » ; este trabajo estaba dedicado a establecer las nociones básica de probabilidad. Para esto fue necesario introducir también un buen número de nociones básicas de combinatoria pues se usaron fuertemente como aplicaciones al cálculo de probabilidades. Se puede decir que con los trabajos de Leibniz y Bernoulli se inicia el establecimiento de la combinatoria como una nueva e independiente rama de las matemáticas.

El matemático suizo Leonard Euler fue quien desarrolló a principios del siglo XVIII una auténtica escuela de matemática combinatoria. En sus artículos sobre la partición y descomposición de enteros positivos en sumandos, estableció las bases de uno de los métodos fundamentales para el cálculo de configuraciones combinatorias, que es el método de las funciones generadoras. También se le considera el padre de la teoría de grafos por el planteamiento y solución de los problemas de los “Puentes de Konigsberg” usando por primera vez conceptos y métodos de teoría de grafos. Los primeros problemas de teoría de grafos surgieron de la búsqueda de solución a algunos problemas cotidianos y también en el planteamiento de algunos acertijos matemáticos tales como el problema de los Puentes de Konigsberg, la colocación de reinas en un tablero de ajedrez con alguna restricción, problemas de transporte, el problema del viajero, etc....

En Inglaterra a finales del siglo XIX Arthur Cayley (motivado por le problema de calcular el número de isómetros de hidrocarburos saturados) hizo importantes contribuciones a la teoría de enumeración de grafos. Por este tiempo el matemático George Boole usó métodos de combinatoria en conexión con el desarrollo de la lógica simbólica y con las ideas y métodos que Henri Poincaré desarrolló en relación con problemas de topología.

Uno de los factores más importantes que han contribuido al gran desarrollo que ha tenido la combinatoria desde 1920 es la teoría de grafos, la importancia de esta disciplina estriba en el hecho de que los grafos pueden servir como modelos abstractos parar modelar una gran variedad de relaciones entre objetos de un conjunto.

VIDEOS

DIAGRAMA DE ÁRBOL I

DIAGRAMA DE ÁRBOL II

VARIACIONES CON Y SIN REPETICIÓN: TEORÍA

VARIACIONES CON Y SIN REPETICIÓN: EJERCICIOS

PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

FACTORIAL DE UN NÚMERO Y NÚMEROS COMBINATORIOS I

FACTORIAL DE UN NÚMERO Y NÚMEROS COMBINATORIOS II

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN

COMBINACIONES SIN REPETICIÓN: TEORÍA

EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y DETERMINISTAS

TIPOS DE SUCESOS

OPERACIONES CON SUCESOS

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

REGLA DE LAPLACE Y EJERCICIOS

EJERCICIOS PROBABILIDAD DE LA UNIÓN/INTERSECCIÓN SUCESOS

PROBABILIDAD CONDICIONADA I

PROBABILIDAD CONDICIONADA II

PROBABILIDAD CONDICIONADA III

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL II

TEOREMA DE BAYES I

TEOREMA DE BAYES II

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

El triángulo de Pascal y el binomio de Newton

En las Matemáticas hay muchas cosas y herramientas que tienen cierta magia pero, sin duda alguna, una de ellas es el conocido como triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia. No se trata de una figura geométrica como tal, sino de un triángulo numérico.

Su nombre se debe al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, que introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. El otro nombre con el que se conoce también a este triángulo se debe al matemático e ingeniero italiano Niccolo Fontana, apodado Tartaglia por su condición de tartamudo. Si bien es cierto que las aplicaciones de este famoso triángulo ya las conocían antes los matemáticos indios (siglo XI), chinos y persas.

¿Cómo se construye el Triángulo de Pascal?

La construcción de este triángulo es muy sencilla ya que, exceptuando los números 1 que siempre están en los extremos, cada número es igual a la suma de los dos números que tiene justo encima. Pues resulta que este triángulo tiene muchas propiedades y que de él se desprenden un gran número de curiosidades matemáticas.

¿Qué es el binomio de Newton?

El binomio de Newton es una fórmula que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, empleando para ello los coeficientes binomiales, que no son más que una sucesión de números combinatorios. Pues bien, resulta que cada fila del triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia respectiva del binomio de Newton. Y esto es verdaderamente útil, pues es uno de los errores clásicos de álgebra que cometen los estudiantes. Si sabes construir el triángulo de Pascal, que ya hemos visto que es bastante sencillo, te sabes las expresiones desarrolladas de las distintas potencias de un binomio.