Historia de los números reales
En los albores de la raza humana, las tribus más primitivas dedicaban sus actividades a la caza y a cuidar del rebaño de ganado. Cuando el rebaño es grande es necesario adoptar alguna estrategia para saber si se ha perdido o han robado parte de él. Por este motivo, es indispensable la utilización de un sistema de numeración que indique cuántos animales tenemos de cada tipo.
Muchas civilizaciones, en un principio, solo distinguían entre uno y muchos o entre uno, dos y más de dos. Posteriormente, se utilizó el lenguaje corporal como dedos de una o dos manos, pies, codo… y otros objetos como montones de piedras, muescas en un palo o trozo de hueso para expresar cantidades: un sol, dos corderos, tres caballos… Como podemos observar los números que se utilizan son los llamados números naturales
N={1,2,3,4,…}
Poco a poco fueron apareciendo diferentes sistemas de numeración, los cuales utilizaban diferentes símbolos para representar las mismas cantidades, veamos unos ejemplos:
Muchas tablillas descubiertas, muestran que los babilonios tenían un sistema de numeración posicional en base 60. Este sistema tenía un signo para sortear el inconveniente de las posiciones vacías, lo que inducía en muchas ocasiones al error. Más adelante introdujeron un nuevo símbolo que podemos considerar como cero1. Además, utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60.
Desde hace unos 5000 años, la gran mayoría de las civilizaciones han utilizado un sistema de numeración decimal. En primer lugar, los egipcios con sus jeroglíficos y con posterioridad los griegos, chinos… Sin embargo, la escritura ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiera el cálculo.
La civilización egipcia 2000a.C. empezó a usar expresiones que representaban lo que conocemos por números fraccionarios. Estas fracciones tenían como peculiaridad que el numerador siempre era igual a 1. En su escritura, representaban un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, el denominador. La omisión del numerador era debido a que siempre era el mismo.
En el siglo V a. C. los pitagóricos encontraron unos números que llamaron inconmensurables, estos números no eran naturales, ni enteros ni fracciones. Es posible que este descubrimiento se produjera al intentar resolver el siguiente problema:
''Hallar el valor numérico de la diagonal de un cuadrado de lado una unidad.''
Si aplicamos el teorema de Pitágoras tenemos que:
d2=12+12⇒d2=2
Descubrieron así, un número que conocemos como raíz de 2, 2–√. Dicho número no es un número racional, lo llamaremos número irracional, y se caracteriza porque tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
Los chinos, hacia los siglos II y Ia.C., utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar operaciones, en especial, cálculos comerciales. Estos bastoncillos eran negros y rojos para representar valores positivos y negativos. Al conjunto de los números positivos, negativos y el cero se agrupan formando el grupo de los números enteros Z={...,−2,−1,0,1,2,…}. El cociente de dos números enteros con denominador no nulo forma el conjunto de los números racionales
Q={ab:a,b∈Z;b∉0}
En torno al año 650 d. C. Brahmagupta enseña en sus escritos a operar con sumas y restas usando bienes, deudas y la nada. Fueron utilizados en siglos posteriores pero no eran aceptados por gran parte de la comunidad matemática.
Los hindúes observaron que el valor posicional del sistema babilónico se podía aplicar al sistema decimal. Sin embargo, hasta el siglo IX no se produjo la aparición del 0.
El sistema actual fue inventado por los hindúes y transmitido a Europa por los árabes. No se estableció hasta el siglo XIII y de forma lenta. Autores como Leonardo de Pisa "Fibonacci" intentaron popularizar el sistema. Este sistema estaba dotado de una barra horizontal para separar el numerador del denominador en las fracciones.
A principios del siglo XVII, los números decimales aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando la parte entera de la parte decimal mediante un punto o una coma. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el año 1972.
Desde los griegos, los matemáticos representaban los números racionales y algunos irracionales en una recta, denominada recta real. Finalmente, se dieron cuenta de que la unión de los dos conjuntos completaba dicha recta y a dicho conjunto se llamó conjunto de los números reales.
R=Q∪I
donde I es el conjunto de todos los números irracionales.
AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR FRACCIONES
ORDENAR FRACCIONES
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES
PROBLEMAS DE FRACCIONES
TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES
PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
CONJUNTOS NUMÉRICOS
TRUNCAMIENTO Y REDONDEO
ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO
CONCEPTO DE POTENCIA Y PROPIEDADES
POTENCIAS BASE FRACCIONARIA Y EXPONENTE NEGATIVO
OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS
NOTACIÓN CIENTÍFICA
OPERACIONES CON NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
CONCEPTO DE RAÍZ N-ÉSIMA
PROPIEDADES DE LOS RADICALES
EXTRAER E INTRODUCIR FACTORES DE UN RADICAL
OPERACIONES BÁSICAS CON RADICALES
INTERVALOS Y SEMIRRECTAS RECTA REAL
AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR FRACCIONES
MULTIPLICAR Y DIVIDIR FRACCIONES
OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES
ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO
POTENCIAS BASE FRACCIONARIA Y DE EXPONENTE NEGATIVO
EJERCICIOS RESUELTOS OPERACIONES CON POTENCIAS
CONCEPTO DE NOTACIÓN CIENTÍFICA
OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA
EXTRAER E INTRODUCIR VALORES EN UN RADICAL
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
En la historia matemática hay una leyenda que ha atravesado los siglos: la del descubrimiento de los irracionales por parte de los pitagóricos.
Se cuenta que Pitágoras, el célebre filósofo de la antigua Grecia, tenía la idea de que todo en el universo está basado en los números. Y los números eran, para él, enteros o fracciones de enteros. Sin embargo, uno de sus discípulos encontró una magnitud que no podía escribirse como fracción de enteros: esto era terrible pues conmovía toda una visión del mundo. Y la magnitud en cuestión no era otra que la diagonal del cuadrado, cuyo cálculo procede de un teorema que lleva justamente el nombre de Pitágoras, aunque era conocido mil años antes por los babilonios. Si el lado del cuadrado mide 1, el cuadrado de su diagonal tiene que valer ; de esta forma, la diagonal mide raíz de 2 .
Se cuenta que los pitagóricos, avergonzados, no quisieron revelar a nadie el secreto de su hallazgo; otra leyenda va más allá y afirma que quien descubrió y demostró la existencia de números “No racionales” fue Hipaso un discípulo de Pitágoras y como recompensa lo arrojaron por la borda de un navío. No se cree que esto sea cierto aunque, de alguna forma, deja entrever que los pitagóricos se vieron un tanto “desbordados” por los acontecimientos.