Se pueden tomar las progresiones como ejemplo más sencillo del concepto de sucesión. Desde los albores de la historia de las matemáticas se han estudiado sus propiedades, y éstas han sido aplicadas, sobre todo, a la aritmética comercial. El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir su paternidad a ningún matemático concreto. Veamos su desarrollo en algunas civilizaciones:
En Babilonia era conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. – 600 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas.
En el antiguo Egipto ya se estudiaban las relaciones aritméticas en relación con sus problemas cotidianos. En cuanto al trato de las sucesiones sus conocimientos se recogen en “El papiro Amhes”. Donde aparece tablas de descomposición de 2/n en suma de fracciones unitarias (con n impar pues para n par equivale a una unitaria al simplificarse), y otra en las que se escriben las descomposiciones de las fracciones de la forma n/10. Otros de los textos importantes que recogen los conocimientos importantes de esta civilización es “El papiro Rhind”. En él se recogen conocimientos generales sobre series geométricas y aritméticas.
En la antigua india (900 a.C – 200 d.C), el matemático Pingala (Siglo I a. C.) expone en su obra ideas básicas sobre los números de Fibonacci, llamados mātrāmeru. Por otro lado, entre el 400 a. C. y el 200 a. C., los matemáticos yainas comenzaron el estudio de las matemáticas para el exclusivo propósito de las matemáticas, desarrollando matemáticamente las sucesiones y progresiones. El Manuscrito “Bakhshali”, escrito entre el 200 a. C. y el 200 d. C., incluía soluciones de progresiones aritméticas y geométricas.
En la antigua Grecia (hasta el 300 d.C) ya se comienzan a usar los números figurales, debido a lo pobre que resultaba ser el sistema de numeración de la época. Así, mediante un enfoque geométrico, representaban mejor las cantidades, aludiendo a regularidades tales como: Además de otras aportaciones de la cultura Griega a las matemáticas, cabe destacar en nuestro tema que se comienza a hablar en este tiempo de sucesiones de números pares e impares. Aunque se asociaba lo “par” con lo ilimitado y lo “impar” con limitado. Cabe destacar a Arquímedes (287 a.C– 212 a.C) que trabajó durante su vida con algunas sucesiones y series de gran importancia entre la que podemos destacar: El valor de π mediante la aproximación de una sucesión de polígonos circunscritos en la circunferencia y la cuadratura de la parábola.
En la edad media, destacamos en cuanto al desarrollo de las sucesiones a Bhaskara II (1.114 – 1.185), importante matemático de la India en el siglo XII. En el libro IX de Los Elementos de Euclides aparece escrita una fórmula, semejante a la actual, de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Bhaskara plantea en su más conocida obra, “En Lilavati”, diversos problemas sobre progresiones aritméticas y geométricas. Además en la época destaca el matemático Leonardo de Pisa (1170-1250). Más conocido como Fibonacci, su principal aportación a las matemáticas fue el estudio y cálculo de una progresión relativa a una pareja de conejos, que actualmente tiene múltiples aplicaciones en los fenómenos (especialmente naturales). Esta sucesión es conocida como sucesión de Fibonacci. En 1.220 Leonardo escribe su obra “Geometría Práctica” y además publica una obra menos conocida sobre teoría de números donde se estudian propiedades de los números y algunas series. De hecho hoy en día las sucesiones recurrentes llevan su nombre.
En el renacimiento se abordan y resuelven problemas relacionados con el algebra, y por relación con las sucesiones, de gran envergadura. Los escritos de Nicolás de Cusa (1401-1464) se basan en la crítica sobre la noción del infinito. Merece la pena también subrayar la importancia de Michael Stifel (1487-1567) al que debemos importantes avances en el estudio de las progresiones Aritméticas y Geométricas. En la Edad contemporánea el desarrollo del tema es más que notable y, entre otros autores, destacan: Isaac Newton (1642-1727), cuyo binomio Newton es capaz de desarrollar cualquier potencia de sumandos como una serie finita de términos. Gottfried Leibniz (1646-1716), aporta al desarrollo del tema una fórmula, en forma de serie, para el cálculo de π. Leonhard Euler (1707,1783) contribuyó activamente a todas las ramas de las matemáticas, trabajando también con sucesiones y series. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, contribuyendo de manera medular a su desarrollo. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática. Además caracterizo el concepto de límite mediante las sucesiones. Joseph Fourier (1768-1830) introduce la representación de una función como una serie de senos y cosenos, ahora conocidas como las series de Fourier. Carl Friedrich Gauss (1777-1855), desde temprana edad, destaca por sus habilidades matemáticas, incluso a los 7 años consiguió resolver el problema de la suma de los 100 primeros números en una clase en el colegió estableciendo una relación simétrica en esta progresión aritmética. Otto Stolz (1822-1232) es uno de los grandes matemáticos austriacos de la época y es conocido por sus trabajos en materia de análisis matemático e infinitesimal. Sobre el tema de sucesiones consiguió estudiar la convergencia de una sucesión a partir de otra sucesión monótona creciente y divergente. (Criterio de Stolz)
ADIVINAR TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN
CALCULAR TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN DADA LA FÓRMULA
CÁLCULO DE TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN RECURRENTE CON FÓRMULA
PROGRESIÓN ARITMÉTICA => TÉRMINO GENERAL
CALCULAR D EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
CALCULAR PRIMER TÉRMINO PROGRESIÓN ARITMÉTICA
SUMA DE LOS N PRIMEROS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
CALCULAR RAZÓN EN UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
CALCULAR PRIMER TÉRMINO D EUNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
SUMA TÉRMINOS PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
EJERCICIO AMPLIACIÓN PROGRESIONES ARITMÉTICAS
EJERCICIO AMPLIACIÓN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
La sucesión de Fibonacci es una de las secuencias más conocidas de las matemáticas, una serie de números que guardan una estrecha relación con los anteriores, partiendo del «0» y el «1», y, que se relacionan en gran medida con la proporción áurea, el número de oro y la estética. Existen muchas curiosidades y datos interesantes sobre la sucesión de Fibonacci que repasaremos en este artículo de 10 cosas que quizás no sabías sobre la sucesión de Fibonacci.
Antes de comenzar, debemos tener clara la respuesta a la pregunta de qué es la sucesión de Fibonacci. La sucesión de Fibonacci, también conocida como la serie de Fibonacci es una sucesión de números naturales en la que cada término es la suma de los dos términos anteriores. Esta sucesión comienza con los números «0» y «1», y continua de la siguiente manera:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…
La representación de la sucesión de Fibonacci matemáticamente es:
f (0)=0
f (1)=1
f(n)= f(n-1) + f(n-2)
La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales que comienza con los números «0» y «1», y, dada su naturaleza, crece exponencialmente sin ningún tipo de límite. Como hemos comentado, cada nuevo término es la suma de los dos términos anteriores, por lo que, dado que los números son infinitos, la sucesión es por consiguiente ilimitada, creciendo cada vez más rápidamente hasta el infinito.
La sucesión de Fibonacci suele representarse gráficamente como una aproximación a la proporción aurea de la espiral dorada, al inscribirse en cuadrados cuyos lados contengan la propio serie de Fibonacci. Esta espiral logarítmica responde a un crecimiento a razón del número áureo, representado con la letra «phi», y, se puede observar en diversos lugares en la naturaleza. No obstante, cabe decir que la sucesión de Fibonacci se aproxima a la proporción áurea, pero, no es exacta.
Indagando más en la razón áurea, cabe señalar que el cociente entre un término de la serie y el anterior varía proporcionalmente, pero, se estabiliza conforme crece la sucesión, aproximándose al número áureo. Explicado de manera numérica:
1/1= 1
2/1 = 2
3/2= 1,5
5/3= 1,667
8/5= 1,6
13/8= 1,625
21/13= 1,615
34/21= 1,619
55/34= 1,618
89/55= 1,618
Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, fue un matemática italiano que vivió en la República de Pisa durante la Edad Media, entre los años 1170 y 1240. Se trata de uno de los matemáticos más reputados de la historia, difundiendo el sistema de numeración indo-arábigo frente a la numeración romana, y, escribiendo varios libros como «Liber Abaci», la «Práctica Geometriae», o, el «Liber Quadratorum», el libro de los números cuadrados que explica una serie de propiedades de estos números.
La sucesión de Fibonacci puede verse en múltiples elementos de la naturaleza. Uno de los ejemplos más claros se observa en la concha de un nautilus, un tipo de molusco cefalópodo marino que dio nombre al submarino más importante de la literatura universal en «Veinte mil leguas de viaje submarino» de Julio Verne.
La película del Código Da Vinci de 2006, basada en el libro de Dan Brown del mismo nombre del año 2003, cuenta con numerosos términos matemáticos como la sucesión de Fibonacci, la proporción áurea, el pentáculo, o, la teoría del conteo. A raíz del lanzamiento de la película estos términos se han comenzado a expandir, casi tanto como las espirales de la sucesión de Fibonacci cuando tiende a infinito.
El número áurea, conocido también como el número de Dios, la proporción áurea, la razón áurea o el número de oro es un número irracional infinito cuyo valor es 1,618033988, es decir, aproximadamente el cociente de la división de dos números consecutivos en la sucesión de Fibonacci cuando tiende a infinito. El número áureo es importante ya que se supone la divina proporción, atribuyéndole un carácter estético divino, así como un misticismo único.
La secuencia matemática de Fibonacci se puede aplicar a diversos ámbitos de la vida cotidiana, utilizándose como base para una estrategia de un sistema de apuestas de casino. El sistema de apuestas de Fibonacci consiste en aumentar la apuesta cada vez que se pierde, y, disminuir la apuesta cuando se gana, buscando ganar mayor dinero en las apuestas que se ganan, y, perder menos dinero en las apuestas que se pierden. Para ello, se utiliza la serie de Fibonacci para marcar la cantidad a apostar en cada ronda, siguiendo los números, lo que equivaldría aproximadamente a multiplicar la apuesta o dividirla por 1,6.
En el año 1202 Fibonacci propuso un problema para explicar de manera «divertida» y «visual» la sucesión por la que es conocido a día de hoy. Para ello, Fibonacci parte de una pareja de conejos, y, se pregunta cuántas parejas de conejos se pueden obtener, sabiendo que cada pareja tiene al mes una nueva pareja de bebés, la cuál no tendrá nuevos conejos hasta ser adulta al cabo de dos meses.
Por tanto, al principio hay 1 pareja de conejos «bebés», al cabo de un mes sigue habiendo 1 pareja de conejos ya adultos, al cabo de dos meses habrá 2 parejas de conejos, una adulta y otra bebé, al cabo de tres meses habrá 3 parejas de conejos, dos adultas y una bebé, al cabo de cuatro meses habrá 5 parejas de conejos, tres adultas y dos bebés, al cabo de cinco meses habrá 8 parejas de conejos, cinco adultas y tres bebés…Como vemos, este problema guarda la sucesión de Fibonacci.