TEMA 7: FUNCIONES II

ORIGEN HISTÓRICO DE LAS FUNCIONES

 La palabra “función” se encuentra en un manuscrito de Leibniz escrito en el verano de 1673, después de su regreso de un corto viaje a Londres. En este original trabajo, la palabra “función” aparece para designar una magnitud representando tal o cual papel respecto a una curva, por ejemplo, la longitud de la tangente o de la normal. Aquí la curva se supone definida por una relación entre x e y dada por una ecuación. Como nos percatamos al leer con detenimiento, Leibniz concierta las ideas reflejadas por las palabras curva, ecuación y relación. Estas tres palabras con sus significados diferentes, van a ajustarse dialécticamente para producir el concepto preciso y general de función. En el intercambio epistolar entre Johann Bernoulli y Leibniz, esta noción fue paulatinamente modificando su significado, así en 1718, en un trabajo de Johann aparece este concepto definido con un significado próximo al actual: Se llama función de una magnitud variable a una cantidad, que se compone de cualquier forma de esta magnitud variable y de constantes. Bernoulli no aclara qué entiende por cantidad, pero del contexto en que la utiliza puede deducirse que se trata de algo susceptible de variación. Propone, además la notación Mx para designar una función arbitraria de la variable x, el uso de la letra f y la introducción de los paréntesis se deben a Euler. Una etapa definitoria para la transformación del “nuevo cálculo” de Leibniz y Newton, como herramienta generalmente asociada a la solución de problemas geométricos o físicos concretos, al “análisis infinitesimal”, centrado en el concepto puramente matemático de función, la constituye la publicación de los tres tratados de Euler: Introducción al análisis de los infinitos (1748, en dos tomos), Cálculo Diferencial (1755) y Cálculo Integral (1768-70, en tres tomos). En el prefacio de Introducción al análisis de los infinitos Euler señala: … en el primer libro me he extendido sobre todo en las funciones de variables, porque ellas son el objeto del Análisis infinitesimal. De esta forma sitúa a las funciones en el centro del Análisis. Para poner de manifiesto más claramente su distanciamiento de la base geométrica originaria de esta rama de la matemática no incluirá ninguna figura en todo el primer tomo de esta obra, como tampoco más tarde lo hará en sus tratados Cálculo Diferencial y Cálculo Integral. El estudio de las curvas lo agrupa en el segundo tomo, de la Introducción y en él aplica las ideas desarrolladas en la primera parte de esta misma obra. En su Introducción al análisis de los infinitos, Euler se adhiere esencialmente a la definición de función dada por Johann Bernoulli, pero introduce el término más adecuado de expresión analítica: "Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta en cualquier forma de esta cantidad variable y de números o cantidades constantes." A diferencia de Bernoulli, Euler aclara cuáles son las operaciones admisibles para la formación de las expresiones analíticas: las operaciones algebraicas usuales y varios procedimientos trascendentes que enumera y que incluyen el paso al límite. A continuación clasifica las funciones según diversos criterios, por ejemplo, dividió las funciones en algebraicas y trascendentes, las primeras son las constituidas solo por operaciones algebraicas y en las segundas incluye aquellas en que la variable se ve afectada por alguna operación trascendente, es decir que trasciende las operaciones algebraicas. También las divide en continuas y discontinuas, explícitas e implícitas, uniformes y multiformes, etc. Dentro de las funciones trascendentes incluye tanto las funciones trigonométricas y aquéllas definidas por exponenciales y logaritmos como también las dadas mediante integrales, sin embargo, dado el carácter elemental del texto, no trata estas últimas. Para lograr su objetivo, Euler necesitó ampliar el conjunto de las funciones básicas que pueden generar una expresión analítica. Para ello en los capítulos VI, VII, VIII del primer tomo de la Introducción, define y estudia las funciones exponencial, logarítmica y las circulares, de una forma que podemos sin duda catalogar de actual. Por ejemplo, define la función exponencial como una potencia donde el exponente es variable y a continuación define el logaritmo de y con base a como el valor z tal que z a y . De este modo, las propiedades básicas del logaritmo son obtenidas a partir de las de la exponencial. Encuentra las propiedades y relaciones básicas entre estas funciones, en particular, sus desarrollos en serie de potencias. En resumen, las presenta con tanta claridad que se convierten simplemente en funciones elementales, aunque trascendentes. La noción de función aparece en la obra de Euler bajo formas diferentes en distintos momentos de su vida y motivada por diversas razones de carácter teórico o práctico. Además de la concepción formal expuesta en su Introducción al Análisis, Euler usa la idea de dependencia arbitraria entre cantidades variables. En el prefacio a su tratado Cálculo Diferencial, aparece una definición más amplia de función, virtualmente equivalente a una definición moderna: Si algunas cantidades dependen de otras cantidades de modo que si las últimas cambian, las primeras también lo hacen, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es de naturaleza amplia e incluye cada método por el cual una cantidad pudiera ser determinada por otras. Si, por consiguiente, x denota una cantidad variable, entonces toda cantidad la cual dependa de x en cualquier manera o esté determinada por ella es llamada una función de ella. Sin embargo, el uso que se hace de las funciones deja claro que para Euler, al igual que para sus contemporáneos, una función es una expresión analítica general. La necesidad de resolver con mayor precisión diferentes problemas de la Física y otras ciencias motivó la precisión, generalización y abstracción del concepto función hasta llegar a las diferentes definiciones que hoy utilizamos según sea nuestro interés práctico o teórico. En la matemática actual todos buscamos el significado de un concepto en la definición que del mismo se da. Sin embargo en los trabajos de los matemáticos anteriores al siglo XX, este significado queda oculto en una definición más o menos vaga y puede ser explicitado solo cuando se busca de forma más precisa en el uso posterior que de ella se haga y en los ejemplos a los cuales se aplica.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL

FUNCIÓN CONSTANTE

FUNCIÓN PROPORCIONALIDAD DIRECTA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

ASÍNTOTAS FUNCIONES RACIONALES

FUNCIONES A TROZOS

FUNCIONES EXPONENCIALES

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

APLICACIONES PARÁBOLAS A LA VIDA REAL