Lo más apropiado, quizás, sea comenzar en Mesopotamia la historia de las funciones . En las matemáticas babilónicas encontramos tablas con los cuadrados, los cubos y los inversos de los números naturales. Estas tablas sin duda definen funciones de N en N o de N en R, lo que no implica que los babilonios conocieran el concepto de función. Conocían y manejaban funciones específicas, pero no el concepto abstracto y moderno de función3 . En el antiguo Egipto también aparecen ejemplos de usos de funciones particulares. Una tabla con la descomposición de 2/n en fracciones unitarias4 para los impares n desde 5 hasta 101 aparece en el Papiro Rhind o Papiro Ahmes, de unos 4000 años de antigüedad considerado como el primer tratado de matemáticas que se conserva. Detalle del Papiro Ahmes En la Grecia clásica también manejaron funciones particulares —incluso en un sentido moderno de relación entre los elementos de dos conjuntos y no sólo de fórmula— pero es poco probable que comprendieran el concepto abstracto (y moderno) de función . 1 Las funciones son las expresión matemática de las relaciones. Esto es más que la idea clásica de función como fórmula funciones. aspectos globales.
La mayor parte de los historiadores de las matemáticas parecen estar de acuerdo en atribuir a Nicole Oresme (1323- 1382) la primera aproximación al concepto de función, cuando describió las leyes de la naturaleza como relaciones de dependencia entre dos magnitudes. Fue el primero en hacer uso sistemático de diagramas para representar magnitudes variables en un plano.6En la revolución científica iniciada en el siglo XVI los científicos centraron su atención en los fenómenos de la naturaleza, poniendo énfasis en las relaciones entre las variables que determinaban dichos fenómenos y que podían ser expresadas en términos matemáticos. Era necesario comparar las variables, relacionarlas, expresarlas mediante números y representarlas en algún sistema geométrico adecuado. Galileo Galilei (1564-1642) pareció entender el concepto de función aún con mayor claridad. Sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. Entre las funciones que estudió Galileo destacan, por sus sorprendentes consecuencias: La función uno-a-uno n → n entre los naturales y sus cuadrados, que demuestra que hay tantos números naturales como cuadrados perfectos.
Casi al mismo tiempo que Galileo llegaba a estas ideas, Renè Descartes (1596- 1650) introducía la geometría analítica. Descartes desarrolló y llevó a sus fundamentales consecuencias las ideas que siglos atrás se habían usado para representar en el plano relaciones entre magnitudes. Ahora cualquier curva del plano podía ser expresada en términos de ecuaciones y cualquier ecuación que relacionara dos variables podía ser representada geométricamente en un plano8 . A finales del siglo XVII aparece por primera vez el término función. En palabras de Johann Bernoulli, una función es “una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes”. Pero no fue hasta 1748 cuando concepto de función saltó a la fama en matemáticas. Leonhard Euler, uno de los grandes genios de las matemáticas de todos los tiempos, publicó un libro, Introducción al análisis infinito, en el que definió función. Cómo usar las biyecciones para contar los elementos de un conjunto. Conjuntos infinitos son aquellos biyectivos con una de sus partes propias
Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes. Pero Euler no define expresión analítica. Así que poco después, en 1755, tuvo que precisar su definición: Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas. Pero la cosa seguía sin estar clara del todo: ¿cómo es esa dependencia?, ¿cómo expresarla, calcularla o representarla?, ¿cómo deben cambiar los valores de las variables?, ¿cuántas variables pueden intervenir?, ... Retrato de Leonhard Euler Muchos matemáticos abordaron el problema de dar una definición precisa y adecuada de función. Y así se pasaron casi dos siglos, puliendo poco a poco el concepto, hasta que, ya en el siglo XX, Edouard Goursat dio en 1923 la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día: Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x)
FUNCIONES: TABLAS, GRÁFICAS, FÓRMULAS Y ENUNCIADOS
ESTA GRÁFICA ES FUNCIÓN SI O NO
OPERACIONES CON FUNCIONES
DOMINIO E IMAGEN DE UNA FUNCIÓN VIENDO LA GRÁFICA
DOMINIO FUNCIONES POLINÓMICAS, RACIONALES E IRRACIONALES
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN GRÁFICAMENTE
PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
ESTUDIAR SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN DE FORMA ANALÍTICA
PERIODICIDAD DE UNA FUNCIÓN
ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN
TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN
MONOTONÍA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA GRÁFICA
CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
¿CÓMO SE MANTIENE UN AVIÓN JUMBO EN EL AIRE? (Función lineal y cuadrática)
Cuando un ala se mueve con una cierta velocidad, se genera sobre la misma una zona de baja presión y bajo la misma una zona de alta presión. Al juego de estas dos presiones se debe el “sostén” o “sustentación”, una fuerza que se opone al peso del avión. Así, para proyecta en vuelo un avión, es indispensable saber de qué magnitudes depende esta fuerza.
Se ha encontrado que esa fuerza F depende, esencialmente, de la superficie S y la velocidad V del ala, según la ley: F = k . S. V². La constante k depende del perfil del ala, densidad del aire y al ángulo de incidencia del ala respecto del flujo de aire.
Fijando la superficie del ala se puede trabajar con una función cuadrática, y si se fija la velocidad, la función es lineal.