Gödel, Hilbert y el teorema de incompletitud

Artículo del número de julio de 2019  Investigación y Ciencia

Introducción

        El artículo que publicó Gödel en 1931 conmovió los cimientos de su disciplina, las matemáticas, como los de Einstein (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento) en 1095, de Darwin en 1859 (El origen de las especies) o el de Watson y Crick Estructura molecular de los ácidos nucleicos. 1953 Nature, 171, 737-8en 1953.

        En el artículo Gödel daba respuesta negativa a la pregunta formulada por David Hilberte en su conferencia de 1900 en el Congreso Internacional de Matemáticos de aquel año en Paris, en su charla titulada Problemas futuros de la matematica.Allí porpuso 23 célebres problemas abiertos, de los cueles e segundo decir: "La compatibilidad de los axiomas de la aritmética: demostrar que los axiomas no son contradictorios, es decir, demostrar que basándose en los axiomas no se puede llegar jamás a resultados contradictorios mediante un número finito de deducciones lógicas". En 1928 Hilbert volvió al problema, esta vez en Bolonia, en otro Congreso Internacional de Matemáticos, con la formulación del Entseidungsproblem: demostrar si existe un algoritmo para decidir si una proposición matemática es una consecuencia lógica de otros. Este enfoque estaba dentro del programa formalista, que exigía la formalización de la matemática clásica. Este programa convertía los conceptos en signos gráficos, las ideas por hileras de signos y los razonamientos por combinaciones de hileras conforme a precisas reglas de deducción. A continuación había que demostrar la consistencia de estos sistemas formales. Esto es lo que había logrado para la geometría euclídea en 1899 con Grundlagen der Geometrie.

        La convicción que animaba a Hilbert era, en sus propias palabras:

        "La convicción de la posibiliadd de resolver todo problema matemático representa para nosotros un estímulo precioso durante el trabajo Escchamos siempre resonar en nostros el siguiente llamamiento: Aquí está el problema, busquemos la solución. Tú puedes encontrarla mediante el razonamiento puro. Jamás, en efecto, el matemático se verá reduciro a decir: Ignorabimus"

    Hilbert creía firmemente que en matemáticas no existía el ignorabimus. Que siempre sería posible contestar preguntas con sentido. Respondía así de forma retadora a la expresión latina ignoramus et ignorabimus (desconocemos y desconoceremos) del fisiólogo alemán Emil du Bois-Reymond en su libro Über die Grenzen der Naturerkennens (sobre los límites de nuestra comprensión de la naturaleza)

Kurt Gödel

        Jamás pensó Hilbert que 3 años después de su charla de Bolonia un austríaco, Gödel, demostraría que en matemáticas sí existe el ignorabimus en forma de proposiciones indecidibles (cuya verdad o falsedad no es posible demostrar) en el seno de sistemas axiomáticos de poder suficiente para dar cuenta de la aritmética (es decir, sistemas que daban cuenta de la Teoría de Conjuntos, y una amplia variedad de teorías matemáticas). Un sistema aritmético tiene siempre proposiciones cuya verdad no se puede demostrar desde dentro del sistema.

        Estrictamente, los resultados de Gödel son dos. 

En el primero (TG1)  demuestra que toda teoría matemática recursiva y consistente es incompleta. (Un sistema axiomático es completo si para cualquier sentencia f de su sistema formal, o bien f o ¬f son demostrables (deducibles en un número finito de pasos) dentro del sistema. En caso contrario es incompleto.

En el segundo (TG2) demuestra que todo sistema axiomático es incapaz de demostrar su propia consistencia. 

Gödel escribió a Zermelo una carta enl 12 de octubre de 1931 en la que decía:

        Me gustaría todavía señalar que yo veo el punto esencial de mi resultado no en que alguien pueda abandonar cualquier sistema formal (esto se sigue ya del procedimiento diagonal), sino que para todo sistema formal de metamatemática existen proposiciones que se pueden expresar dentro del sistema pero que no se peuden decidir a partir de los axiomas de ese sistema, y que esas proposiciones son incluso de un tipo relativamente simple, a saber, pertenecientes a la teoría de los números enteros positivos. Que uno no puede capturar toda la matemática en us sistema formal ya se sigue del procedimiento diagonal de Cantor, pero sin embargo continúa siendo concebible que uno pueda al menos formalizar completamente ciertos subsistemas (en sentido si en una carta a Constance Reidntáctico). Mi prueba demuestra que también es imposible si el subsistema contiene al menos los conceptos de adición y multiplicación de números enteros. Sin duda, las relativamente  indecidibles proposiciones son siempre decidibles en sistemas superiores, pero incluso en esos sistemas superiores permanecen proposiciones indecidibles del mismo tipo, y así ad infinitum. 

Gödel y von Neumann

        El artículo de Gödel se publicó en la revista Monatschefte für Mathematik und Physic, bajo el título de "Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia mathematica y sistemas afines". Pero en septiembre de 1930 Gödel había avanzado su contenido en la Segunda Conferencia sobre Epistemología de las Ciencias Exactas celebrada en Königsberg. Allí asistieron von Neumann, Brouwer y Carnap. El último día Gödel presentó sus famosos resultados. Seguramente tan solo von Neumann entendio la profundidad e importancia de los resultados de Gödel. El 20 de noviembre von Neumann escribía a Gödel:

        Querido señor Gödel: recientemente he estado cupándome de nuevo de la lógica, utilizando métodos que usted ha empleado con tanto éxito para demostrar propiedades indecidibles. Al hacer eso, he obtenido un resulltado que me parece notable. A saber: he sido capaz de demostrar que no se peude probar la consistencia de las matemáticas.

(explicaba cómo lo había hecho, y continuaba:)

Estaría muy interesnado en concer su opinión sobre esto. ¿Cuándo aparecerá su artículo y cuándo estarán disponibles als pruebas de imprenta? Esto tiene también un interés técnico para mí, ya que querría seguirle lo más cerca que fuese posible, tanto en sustancia como en notación, y por otra parte me gustaría publicar un artículo sobre estas cuestiones tan pronto como fuera posible.

        Sabemos que Gödel le contestó, pero no se conserva la carta. Todo indica que le explicaba que él ya había emostrado su segundo teorema de incompletitud que aformaba exactamente eso. Sí se conserva la siguiente que escribió von Neumann, en contestación a la carta perdida:

        Muchas  gracias por la separata (se refiere a una rtículo que le mandaba adjunto) Como usted ha establecido el teorema de la indemostrabilidad de la consistencia como una continuación natural y profundización de sus anteriores resultados, está claro que yo no publicaré sobre este asunto. Por consiguiente creo que su resultado ha resuelto negativamente la cuestión fundamental: no existe justificación lógica para la matemática clásica. QUé sentido debemos atribuir a nuestra esperanza, según la cual es de facto consistente, es algo que no sé, pero en mi opinión eso no cambia el hecho completado.

        Queda bastante claro desde el punto de vista historiográfico que von Neumann había demostrado el Segundo teorema de Gödel por su cuenta, lo que da una idea de su talla como matemático. También queda constancia de la impresión profunda que los trabajos de Gödel hicieron en él. El 7 de junio de 1931 escribía von Neumann a Carnap:

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H) escribía: con respecto a los espectaculares teoremas de Gödel y Cohen, los admiramos, pero no han cambniado nuestro trabajo, nuestra filosofía, nuestra vida. Si alguien lograse demostrar que la hipótesis de Riemann es indecidible, nos chocaría, tanto como nos chocó cuando se demostró que el postulado de las paralelas lo era, pero nos recuperaríamos, Probablemente seguiríamos y descubriríamos y estudiaríamos las reorías de los núemros no riemannianos y viviríamos rfelices para siemrpe después.

e sabido de Gödel (al que usted también conoce) sobre sus resultados en Königsberg y después mediante correspondencia. Estos teoremas (que desde entonces ya se han publicado) demuestran que ciertas afirmaciones lógicas y matemáticas, tales como, por ejemplo, la consistencia del análisis, nos e peuden demostrar en ciertos sistemas formales lógicos. Por consiguiente, hoy mi opinión es que:

1. Gödel ha demostrado que el programa de Hilbert es irrealizable

2.- No existen más razonaes para rechazar el intuicioneismo (si uno no toma en cuenta el tema estático, que en la práctica para mí también será el factor decisivo) 

        Sin embargo, en 1939 la situación de confianza entre Carnap y Gödel había cambiado. Escribía  el 18 de julio de aquel año a Rudolf Ortvay, físico amigo suyo:

        Desde el punto de vista de la discusión y evaluación de lo verdaderamente matemático, considero que las cosas de Carnap son naifs y débiles. Sencillametne, Carnap no posee el conocimiento mínimamente becesario para considerar estos asuntos, menos aún para decir algo nuevo. Así, por ejemplo, expresa con un aire de terrible autoimportancia puntos de vista totalmente naifs y simplistas sobre la cuestión de la completitud de la axiomática de la matemática (categoricidad). Si las cosas fueran tan sencillas como él se las imagina, entonces no se necesitaría la investigación de los fundamentos de la matemática !al menos desde el punto de vista de la matemática! Yo soy totalmetne incapaz de juzgar si  Carnap merece algún crédito para que su influyente escuela de filósofos pueda abordar con seriedad cuestiones filosóficas en las ciecnias naturales y exactas. (...) Me entristece especialmenet que mientras el nombre de Gödel está constantemente en labios de Carnap, es obvio que él no comprende en absoluto el significado real de los resultados de Gödel.

Gödel a Constance Reid sobre el programa de Hilbert

        Las demostraciones de Gödel, si bien daban al traste con el programa de Hilbert, y en matemáticas sí existían ignorabimus, eso no quiere decir que su programa de fundamentación de la matemática quedara destruido. Eso es al menos lo que pensaba Gödel en una carta que escribió a Constance Reid, autora de varias biografías de matemáticos y libros populares sobre matemáticas. Recibió varios premios por exposición matemática. No era matemática, sino que provenía de una familia matemática: su hermana era Julia Robinson y su cuñado era Raphael M. Robinson. En esta carta asegura que nunca habñía conocido personalmente a Hilbert, ni mantenido correspondencia con él. Y añadía:

        Me gustaría llamar su atención a un punto frecuentemente desdeñado, a saber, el hecho de que el esquema de Hilbert para los fundamentos de la matemática continúa siendo muy interesante e importante a pesar de mis resultados negativos. Lo que se ha demostrado es únicamente que el objetivo específicamente epistemológico que Hilbert  tenía en mente no se peude obtener. Este objetivo era demostrar la consistencia de los axiomas de la matemática clásica en base a una prueba tan concreto e inmediatamente convincente como la aritmética elemental. Sin embargo, contemplando la situación desde un punto de vista puramente matemático, pruebas de consistencia en base a presuposiciones metamatemáticas más fuertes adecuadamente escogidas (como han sido dadas por Gretzen y otros) son igualmente interesantes y conducen a perspectivas muy importantes sobre la demostración de la estructura teórica de la matemática. Más aún, permanece abierta la cuestión de si, y en qué medida, es posible, en base al enfoque formalista, demostrar constructivamente la consistencia de la matemática clásica, esto es, reemplazar sus axiomas sobre entidades abstarctas de un ámbito platónico por ideas relativas a las operaciones dadas de nuestra mente. 

En lo que se refiere a mis resultados negativos, aparte de las consecuencias filosóficas mencionadas antes, yo vería su importancia sobre todo en el hecho de que en muchos casos hacen imposible juzgar , o imaginar, si se peude llevar adelante alguna parte específica del programa  de Hilbert en base a presuposiciones metamatemáticas dadas. 

Dado que nunca publicó más sobre el asunto, la carta a Reid es especialmente valiosa.

Repercusión del teorema de Gödel

        Se trata de uno de los más importantes resultados de la Historia de la Ciencia, con implicaciones que van más allá de la matemática e invaden el de la filosofía. No obstante las repercusiones no fueron lo devastadoras que cabía imaginar, dado su desmoralizador fondo. Von Neumann recalcó esto en un artículo titulado "el matemático":

        "al desaparecer [debido a los trabajos de Gódel] la principal esperanza de una justificación de la matemática clásica" entonces la mayor parte de los matemáticos decidieron utilizar de todas formas ese sistema [el clásico]. Después de todo la matemática clásica estaba roduciendo resultados que eran tanto elegantes como útiles, e inlcuso auqnue uno no pudiese estar completamente seguro de su certidumbre, se apoyaba en una base tan razonable al menos comno, pero ejemplo, la existencia del electrón. En consecuencia, si se está dispuesto a aceptar las ciencias, se debe admitir también el sistema clásico intuicionista. En la actualidad, la controversia sobre los fundamentos no está ciertamente cerrada, pero parece muy improbable que el sistema clásico se abandone salvo para una pequeña minoría."

        No está solo en esa opinión, el matemático Paul Halmos (1916-2006) escribía:

        Con respecto a los espectaculares teoremas de Gödel y de Cohen, los admiramos, pero no han cambiado nuestro trabajo, nuestra filosofía nuestra vida. Si alguien lograra demostrar que la hipótesis de Riemann es indecidible, nos chocaría, tanto como nos chocó cuando se demostró que el postulado de las paralelas era indecidible, pero nos recuperaríamos. probablemente proseguiríamos y descubriríamos y estudiaríamos las teorías de los números no riemannianos y viviríamos felices para siempre después.