横浜国立大学2008年

原点をOとするxy平面上に2直線 K : y=mx , L : y=-mx があります。ただし m>1 とします。

K上に点P( s , ms ) , L上に点Q( t , -mt ) をs≠0 , t≠0 となるようにとります。

Pを通りＫに垂直な直線と、Qを通りLに垂直な直線の交点をＲとします。

(1) Rの座標を求めてください。

(2) PQとORが平行になるようにP,Qを動かすとき、Ｒの軌跡を求めてください。

この図ではPQとORは平行にはなっていません。

平行になるようにＱを移動するとＲはどこになるでしょう。

そして、PQとORが平行になるようにP,Qを動かすとき、Ｒの軌跡はどうなるでしょう。

この先を読む前に、紙と鉛筆でいろいろ図を描いてみてください。

そのほうが、この先、面白く読めます。

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さて、Ｒの軌跡を予想できたでしょうか。

この問題、問題設定はシンプルです。そして答もシンプルです。答は直線 y=x と y=-x です。

でも、この結果を出すのは結構大変です。

まず、答が直線２本ということは、あるＰに対して、PQとORが平行になるようなＱは２つあるということですね。

２つ取れましたか？

では、実際に計算してみてください。

まず、Ｒの座標はm,s,tの式で表されますが、これはそう大変ではないでしょう。

x座標は

です。y座標も計算してくださいね。

さて、Ｒの軌跡です。

媒介変数型ですね。Ｐを自由に動かすとき（sが媒介変数）条件を満たすためにはPの位置によってQの位置も決まります。

したがって、tはsに依存します。mは定数と考えてよいでしょう。xとyの式からsを消去するということはtも消去しなければならないということです。

２変数の媒介変数で、しかも片方はもう片方に依存する。・・・あまり見たことがないですね。

「PQとORが平行」という条件から（完璧な答案のためには細かい吟味は必要ですが）

という条件が出ます。「もしくは」というのは、計算してきた式をどのように整理するかで変わってくるからです。

Ｒのx座標とy座標とこの式をよく眺めて、運が良ければ s,t,m が一度に消えて、軌跡の方程式が求められるでしょう。

では、実際に動かしてみましょう。こちらにあります。

さて、実は、この問題、結構奥が深いです。

軌跡は y=x と y=-x の２直線なのですが、実際にはどう動いていくのでしょうか。

あるＰに対し、条件を満たす点Ｑは２つあります。ですから、Ｐを動かすのと同時に、２つのＱも同時に動かせば、２本の直線が同時に描かれていきます。では、２つのＱはそれぞれまっすぐに進むのか。

上のアプレットを動かすと、そうではないことがわかるでしょう。

「PQとORが平行」という条件を満たすために、ＱはＰに依存します。そこで、Ｑのx座標tをPのx座標sで表してみましょう。

先ほどの平行条件を使ってtをsで表します。

これをtの２次方程式と思って解けばよいですね。

解の公式を用いましょう。すると

となります。ルートを外した２番目の式で絶対値がつく理由はわかりますね。

でもそのまえに ± があります。絶対値記号をはずせば ± になるので、それじゃおなじことだから絶対値はいらない、と思いますか？

絶対値記号をとってしまうと、２つのＱはまっすぐ進みます。

絶対値記号をつけると、上のアプレットのように、原点のところでクイッと直角に曲がります。

面白いですね。どっちがほんと？

まだあります。問題に、「ただし m>1 とします」とあります。

軌跡を求めるにあたり、この条件をどこかで使いましたか？必要ですか？

それは上のアプレットで試してください。ｍの値をm>1 と限定せずに変えられるようになっています。