級数と定積分2002年東京大学

【問題】東京大学（2002年）

この問題では、まず空間内で図が思い浮かぶかどうかが問われます。

点Pkの座標設定から、Pk がxy平面上のｙ=１−ｘという直線上にあり、(0,1,0)から(1,0,0)までの線分をn等分する点のk番目であることがわかります。

したがって、三角錐 OPkPk+1Qkというのは、底面がxy平面上にある三角形で、高さがQkの三角錐です。

これを全部集めた体積の和の極限を求める問題です。

以上のことを図にすると次のようになります。(カラーがレインボーであるのは問題とは関係ありません)

分割数を変えたときの変化を見ることのできるインタラクティブな図があります。３Ｄで、回転もできます。

さて、状況がわかれば、Vkを計算し、求める極限値は積分で計算すればよいことになります。

以下は略解です。