パイこね変換

 カオスというと必ず出てくるのが「パイこね変換」です。しかし、私は最初に「Excelで学ぶ理工系シミュレーション入門」で見たときに、どういう意味があるのかさっぱりわかりませんでした。のばしてたたんで、断面がカオス?
 山口昌哉著「カオスとフラクタル」(ちくま学芸文庫(前ブルーバックス))には詳しく書いてあり、少しわかりました。ここから図を引用して、関数との関係を示しましょう。

 それでどうなるか、ですが、この関数を用いて、ある値を変換していくのです。たとえば、0.2から出発すると
ベルヌーイ写像では 0.2 , f(0.2)=0.4 , f(0.4)=0.8 , f(0.8)=0.6 , f(0.6)=0.2 , 以下、0.4 , 0.8 , 0.6 , ・・・・ となっていきます。
テント写像では 0.2 , 0.4 , 0.8 , 0.4 , 0.8 , 0.4 , 0.8 , 0.4 , ・・・・ となっていきます。
このリターンマップを描いてみましょう。(リターンマップについては「ロジスティック写像」を参照してください)
左がベルヌーイ写像、右がテント写像です。

 次に、初期値をわずかに変えてみます。2.03にします。

値の動きがばらばらになりました。これが、カオスの初期値鋭敏性です。
 しかし、本当にカオスなのか? カオスだから初期値鋭敏性が出ているのか、という疑問は残ります。この疑問にきちんと答えるためには、解析的に(数式処理をして)リー・ヨークの定理が成り立つかどうかとか、リアプノフ指数が正かどうかとかを検証しなければなりませんが、ここは高校数学の範疇を超えるのでパスして、周期倍分岐図を描くことで納得することにしましょう。
 似たような関数ですが、周期倍分岐図を描いて見るとまったく様相が違うことがわかります。







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