３．置き換えシステム
イニシエータとジェネレータ
L-Systemはフラクタルと密接な関係があります。フラクタルでは、自分の一部が全体と相似である、という自己相似形とという特徴を持っています。代表的なのがコッホ曲線やシェルピンスキー曲線などです。まずはコッホ曲線の中でも有名な雪片曲線を見てください。
この図形がなぜ自己相似形なのか、またどのように描くのかを解説します。
このような曲線は、イニシエータ(initiator)とジェネレータ(generator)からなります。イニシエータは、基盤のようなもので、ジェネレータは曲線の種のようなものです。上の雪片曲線の場合、次の図の左がイニシエータ、右がジェネレータです。つまり、イニシエータである正三角形の各辺の上にジェネレータを乗せるのです。
イニシエータである正三角形の上に（各辺の上に）ジェネレータを乗せると次のような図形になります。
いま、「乗せる」と書きましたが、「置き換える」の方がよさそうですね。イニシエータの１辺をジェネレータで置き換えました。
さて、イニシエータの１辺をジェネレータで置き換える代わりに、ジェネレータの１辺をジェネレータで置き換えるとどうなるでしょう。もちろん、長さが違いますのでそのままでは置き換えられません。１辺の長さが3分の１ですのでう、ジェネレータを3分の１に縮小します。すると次の図になります。
もとのジェネレータと３分の１の大きさにしたジェネレータは相似形です。そこで、次のように考えます。
ジェネレータ全体とその一部分が相似形である。
これが、自己相似形の考え方です。こうして自己相似形になったジェネレータをイニシエータの上に乗せる（置き換える）と次の図になります。
ジェネレータの大きさをさらに3分の１にして、「置き換え」をしますと、次の図形になります。
最初にあげた図です。この操作を無限に続けていくと、「面積は有限」「辺の長さは無限大」という不思議なことが起こります。それを示すには、高校の数学IIIで学ぶ、無限級数の考え方を用います。（そのため、大学入試問題としても出題されています）
コッホの雪片曲線を描く
では、この雪片曲線をCindyScriptで描いてみましょう。使うのはタートルグラフィクスです。準備として、「３．タートルグラフィクスのコマンドを作る」で作った次の関数を、Initializationスロットに書いておきます。（ここからカットアンドペーストすることもできます）
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forward(n):=(
draw([0,0],[n,0]);
translate([n,0]);
);
left(angle):=rotate(angle);
right(angle):=rotate(-angle);
turtle(s,n,angle):=(
if(s=="A",forward(n));
if(s=="B",forward(n));
if(s=="F",forward(n));
if(s=="+",left(angle));
if(s=="-",right(angle));
);
tree(s,n,angle):=(
gsave();
repeat(length(s),turtle(s_#,n,angle));
grestore();
);
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※ この関数の内容は、「３．タートルグラフィクスのコマンドを作る」の改訂とともに変更されますので注意してください。
tree関数で使っている、「s_#」についてもう一度説明しましょう。アンダーバー _ は、文字列のなかから1文字をとりだす演算子です。#は、repeatで繰り返すときに、Cinderellaが使う「実行変数」というものです。繰り返しの回数が#に入ります。したがって
１回目は sから1番目の文字を取り出す。
２回目は sから２番目の文字を取り出す。
３回目は sから３番目の文字を取り出す。・・・・ となっていきます。すなわち、文字列sの先頭から順に1文字ずつ取りだすことになります。文字列sは、亀に指令する指令文ですので、１つずつ亀に命令を下すことになります。
では、イニシエータとジェネレータを作って、雪片曲線を描きましょう。先にジェネレータを作ります。ここでは、１つの辺の長さを２にしておきましょう。ジェネレータは３つの線分からできています。これを亀に描かせます。次のスクリプトをdrawスロットに書きましょう。
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s="F"; // 最初の状態。線分１つ
kaku=60°; // 曲がる角度
nagasa=6; // イニシエータ、ジェネレータの横の長さ
n=1; // 自己相似形のレベル
generator="F+F--F+F"; // ジェネレータ
// 文字列を生成して描く
repeat(n,
s=replace(s,"F",generator);
);
tree(s,nagasa*(1/3)^n,kaku);
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nの値を 2, 3 と変えると、自己相似形のジェネレータができます。
次に、イニシエータを定義して、ジェネレータをイニシエータの上に乗せます。
イニシエータは正三角形ですので、記号で書くと「+F--F--F」です。また、「乗せる」と書きましたが、実際にはFのところをジェネレータで置き換えることになりますので次のようにします。
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initiator="+F--F--F";
s=replace(initiator,"F",s);
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この2行を、tree(s,nagasa*(1/3)^n,kaku); の前に書きます。
どうでしょう。できましたか？
ところで、今はnを２や３にして、ジェネレーターの自己相似形を作り、最後にイニシエータの上に乗せましたが、イニシエータから出発してジェネレーターでどんどん置き換えていっても同じです。むしろ、このほうが「イニシエータ」の意味に合うでしょう。
できあがりは次のようになります。
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kaku=60°; // 曲がる角度。
nagasa=6; // イニシエータ、ジェネレータの横の長さ
n=1; // 自己相似形のレベル
initiator="+F--F--F"; // イニシエータ
generator="F+F--F+F"; // ジェネレータ
// 文字列を生成して描く
s=initiator;
repeat(n,
s=replace(s,"F",generator);
);
tree(s,nagasa*(1/3)^n,kaku);
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n=0 のときはイニシエータが表示されます。
リンデンマイヤーの本「The Algorithmic Beauty of Plants」 には、次の例が載っています。イニシエータとジェネレータ、角度(kaku)を指定されたものにすれば表示できますのでやってみましょう。長さ(nagasa)と、tree()に渡す２番目の式「nagasa*(1/3)^n」は適当に設定しましょう。
イニシエータ F-F-F-F
ジェネレータ F-F+F+FF-F-F+F
角度 90°
さらに、イニシエータは同じで、ジェネレータと回数を変えた次の例も載っています。
ジェネレータを変えるだけでいろいろな図形ができるものです。やってみましょう。
ジェネレータ２つ
Initializationスロットに書いた、亀を動かす関数 turtle を思い出してください。
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turtle(s,n,angle):=(
if(s=="A",forward(n));
if(s=="B",forward(n));
if(s=="F",forward(n));
if(s=="+",left(angle));
if(s=="-",right(angle));
);
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「前へ」の記号として、Fの他にA,Bもあります。ジェネレータを２つ定義するときに、A,Bを使うと便利です。
ただし、２つの文字を同時に書き換える必要があります。CindyScriptでは、リストを使って置き換えをします。リストとは、複数の要素を集めたものだと思ってください。関数の名前は replace で同じですが、同時に置き換えをするものをペアにして [ ] でくくってリストとします。次のスクリプトは、ドラゴン曲線という名前のついたフラクタル図形を描くものです。replaceの使い方をよく見てください。
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kaku=90°; // 曲がる角度
nagasa=2; // イニシエータ、ジェネレータの横の長さ
n=10; // 自己相似形のレベル
initiator="+A"; // イニシエータ
generator1="A+B+"; // ジェネレータ1
generator2="-A-B"; // ジェネレータ2
s=initiator;
repeat(n,
s=replace(s,[["A",generator1],["B",generator2]]);
);
tree(s,nagasa/n,kaku);
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このスクリプトで、replaceのリスト部分は、変数に代入することもできます。そこで、ジェネレータは２つまとめてリストで指定することにして、置き換え作業も関数にしてしまいましょう。その関数は Initialization スロットに移します。そうすれば、Drawスロットは簡素化できます。
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kaku=90°; // 曲がる角度
nagasa=2; // イニシエータ、ジェネレータの横の長さ
n=10; // 自己相似形のレベル
initiator="+A"; // イニシエータ
generator=[["A","A+B+"],["B","-A-B"]]; // ジェネレータ2
s=makecom(n);
tree(s,nagasa/n,kaku);
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---Initialization スロット-------------------------------------------------------------------
// initiator と generator からコマンド列を作成する
makecom(n):=(
workstr=initiator;
repeat(n,
workstr=replace(workstr,generator);
);
);
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結果は次の図の左です。右は「シェルピンスキーのギャスケット」という、これも有名なフラクタル図形です。
イニシエータとジェネレータ、角度と回数を付してあります。長さ(nagasa)と、tree()に渡す２番目の式は適当に調整してください。
