黄金比の作図

定規とコンパスで作図する黄金比。いろいろあります。

定規とコンパスでの作図ですが，ここではCinderellaの作図ツールを使います。

(1) ヘロンの作図（とされるもの）

・線分ABをとる

・ABに垂直で長さがABの半分の線分BDをとる （ABの中点をとってCとし，補助円も描いています）

・Dを中心とする半径DBの円を描く

・直角三角形ABDの斜辺ADとの交点をFとする

・Aを中心とし，半径AFの円を描き，ABとの交点をHとする。

HはABを黄金分割する点である。

なぜ？ BD=1 とし，三平方の定理を使って長さを計算してみればわかります。

(2) 内接する２円

・(1) と同様に，AB=2BDである直角三角形ABDを描く

・Dを中心とする半径ADの円を描く

・DBの延長と円との交点をFとする

・Bを中心とする半径BFの円を描き，ABとの交点をHとする。

HはABを黄金分割する点である。

なぜ？ BD=1 とし，三平方の定理を使って長さを計算してみればわかります。

(3) 内角と外角の二等分線

・(1) と同様に，AB=2BDである直角三角形ABDを描く

・Dの内角の二等分線と外角の二等分線を引く

・それぞれの二等分線がABおよびその延長と交わる点をF,Gとする。

BはFGを黄金分割する点である。

なぜ？ 角の二等分線と三角形の辺の比の関係を使います。（高校１年生の数学の内容）

まず，内角の二等分線について，AD:DB=AF:FB が成り立ちます。

BD=1,AB=2,BF=xとしてxの値を求めます。

また，外角の二等分線についても，AD:DB=AG:GBが成り立ちます。

同じようにしてBGの値を求めます。

するとこれらが黄金数になることがわかります。

(4) 円に内接する正三角形

・円に内接する正三角形を描く。

作図手順はいろいろあるでしょう。

下図では半径が同じ２円を描いておき，∠ABC，∠ABDの二等分線を引きました。

正三角形はBFEとなります。

・BF,BEの中点を結んだ直線と円との交点をL,Kとする。

GはLHを黄金分割する点である。

なぜ？ 正三角形の１辺を２，LG=xとして，BFとKLについて方べきの定理を適用します。

できた2次方程式を解くと，解は黄金数の逆数になります。

【参考文献】

不思議な数列 フィボナッチの秘密 ： アルフレッド・S・ポザマンティエ，イングマル・レーマン著 松浦俊輔訳 日経BP社