再帰図形

点は２つですが、(1,0)にもう一つ点があるものと考えると、面白いことがわかります。とりあえず２回目をやってみましょう。

ここで、「相似な図形がある」ことに気がつくでしょうか。

１回目の図で、(1,0)に点があるものとすると、３点で二等辺三角形ができています。

２回目の図では、それを縮小した図形がありますね。z200とz201を底辺とする二等辺三角形と、z201と1を底辺とする二等辺三角形です。

はじめの４つは、２回目までに描かれたのと同じ点です。図では緑色の点です。

あとの４つが新たにできた点です。図では赤色の点です。

緑色の点を順に結んだ線分をそれぞれ底辺とし、赤の点を第３の頂点とする二等辺三角形は、１回目、２回目でできた二等辺三角形と相似であることがわかりますか。

４回目です。計算は量が増えるので示しません。点の個数は16個で、いままでと同様、そのうちの８個は３回目までにできた点と同じで、８個が新たにできた点です。次の図で黄色の点です。

さて、点が増えましたが、今まで通り、二等辺三角形が続けてできていることがわかるでしょうか。

２回目と４回目の図について、それぞれ線分で結んでみましょう。

１回目にできた二等辺三角形ではなく、２回目にできた折れ線を基準に考えることもできます。すると、４回目にできた図形は、２回目の図形の４つの辺それぞれを、全体を縮小した図形で置き換えていることがわかります。

このような図形を、「全体と一部が相似」な図形ということで、「自己相似形」といいます。自己相似形な図形で最も有名なのがコッホ曲線です。この図はまさにコッホ曲線です。

なお、このような図形はタートルグラフィクスを用いて描くこともできます。

「CinderellaでL-System」のページをごらんください。

タートルグラフィクスでは、タートル（亀）が線を引きながら動いて図形を描きます。

今やっている、複素関数（複素数の関数）による反復では点をとっていくだけで線分は引かれません。

それでも、点が増えればほとんど同じ図ができます。

次の図は、点の大きさを小さくして、９回繰り返した図です。

さて、コッホ曲線ができる様子を、現象としては理解できたでしょうか。しかし、「なぜ」そうなるのでしょう。

ここをさらに考えます。

これをCinderellaを使って確かめます。

まず３点A,B,Cをとります。点Aがz、点Bはこの関数で点Aが写る点、点Cはzの共役複素数としましょう。スクリプトメニューからCindyScriptを開いて、次のスクリプトを書きます。また、回転、拡大縮小の様子がわかりやすいように、各点と原点を結んだ線分を表示しておきます。

f0(z):=(1/2+sqrt(3)/6*i)*conjugate(z);

z=complex(A);

z1=f0(z);

B.xy=gauss(z1);

C.xy=gauss(conjugate(z));

drawtext(A.xy+[0.3,0.1],":"+z);

drawtext(B.xy+[0.3,0.1],":"+z1);

実行すると次のようになります。

Cは実軸に関して点Aと対称な位置にあります。点Bは点Cを回転・縮小した位置にあります。点Aをドラッグしてみるとその関係がよくわかります。

コッホ曲線では、三角AOBが二等辺三角形になりましたが、それは点Aが特殊な（ある条件を満たす）位置にあるからなので、一般には二等辺三角形にはなりません。それがどのような場合かは、点Aを動かしてみるとわかるでしょう。

次にf1(z) です。同じように考えると、点Aを実軸に関して対称移動し、それを－１だけ平行移動し、回転と拡大縮小を行い、最後に１だけ平行移動することになります。

点Dを追加し、スクリプトを書き直します。

f1(z):=(1/2-sqrt(3)/6*i)*(conjugate(z)-1)+1;

z=complex(A);

z1=f1(z);

B.xy=gauss(z1);

C.xy=gauss(conjugate(z)-1);

D.xy=gauss(z1-1);

drawtext(A.xy+[0.3,0.1],":"+z);

drawtext(B.xy+[0.3,0.1],":"+z1);

まず、点Cは、点Aを実軸に関して対称移動し、それを－１だけ平行移動した点になります。DはCを回転・縮小した点です。最後に、BがDを１だけ平行移動した点、すなわちです。点Aを動かしてみると、点CとDの関係がよくわかるでしょう。

では、「１だけ平行移動する」というのにはどのような意味があるのでしょうか。それをわかりやすくするために2つの図をつくってみます。ひとつは、平行移動をしないで、回転と縮小だけをしたもので、点Aは格子点に置きます。もうひとつは、点Aを１だけずらした点に置いた図です。この２つの図で、点AとBの位置関係は同じであることがわかるでしょうか。