エピサイクロイド

外サイクロイドともいいます。

定円上を外接しながらすべることなく転がっていく円（動円）周上の定点が描く軌跡です。

動円の半径を b , 中心を C , 定点をP、原点Oを中心とする定円の半径をa、2円の接点をQとします。最初に、動円の中心は ( a+b, 0 ) にあり、定円上を反時計回りに転がっていくものとします。また、 着目している定点Pは、最初はA（ a , 0 ）にあるものとします。

軌跡の方程式を求めるには、動円の中心Ｃの位置と、動円における点Ｐの位置の二つに分けて計算してから、それを足し合わせます。サイクロイドの場合と同じです。エピサイクロイドでは、「すべることなく」というのが鍵です。つまり、次の図に示されている赤い弧の長さが等しいのです。このことから、角θだけ回転したときのＣの位置とＰの位置が計算できます。

まず、Ｃの座標は x=(a+b)cosθ , y=(a+b)sinθ です。

次にＣを原点とした座標系で動円を考えます。赤い角に対応する中心角をαとしますと、定円の弧の長さが aθ ですので、次のように計算ができます。

したがって、点Ｑの位置から反時計回りにαだけ回れば点Ｐの位置になります。

そこで、点Ｑの位置を考えます。

点Ｑは2円の接点で、初めはx軸上にありました。円Ｃで考えると、（ -b , 0 ）にあったことになります。そこから、角θだけ回って現在の位置に来ています。ですから、Ｃを原点とした座標系での点Ｐの位置は、

となります。

ですから、もとの座標系で考えると、Ｃの位置にＣの座標系におけるＰの位置を加えて

となります。これがエピサイクロイドの媒介変数表示です。

点Ｐの足跡を表示したり、動円の大きさが変えられるインタラクティブな図があります。

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