オイラー線

三角形の重心Ｇ、外心O、垂心Ｈは同一直線上にあります。この直線をオイラー線といいます。

また、重心ＧはOHを１：２に内分します。

このことの証明をひとつ考えてみましょう。

まず、重心、外心、垂心の作図方法と性質を思い出してください。「重心は中線を２：１に内分する」という性質、外心は外接円の中心、ということも大切です。

作図するための線をいくつか描き、外接円を描いたところで、証明に必要な補助線を引くことを考えます。

ＢＣの中点をＤとしたとき、２OD=AH であることをまず証明します。

次に、ADとOHの交点をG'とし、G'が重心Ｇに一致することを示します。相似な三角形を発見しましょう。「重心は中線を２：１に内分する」という性質がここで決め手になります。

証明の詳細はあえて書きません。

インタラクティブに図を描きながら考えるものを作りました。