花の曲線を描く

１．正葉曲線

はなびらを表現するのに基本になるのが正葉曲線です。バラ曲線ともいいます。

正葉曲線を表す式は、極座標における極方程式 r=sin(nθ) が基本ですが、nを分数にして

の形にします。nとkの値によってさまざまな図ができます。次の表はn,kが１から５までの組み合わせです。

k=1の場合は、θは０から２πまでの範囲で描けますが、kの値が２以上になるとθの範囲を広げる必要がでてきます。

これらをシミュレートするものを作ってみましょう。次のような画面構成です。

３つのスライダーを作って、n,kの値と描画範囲を設定できるようにします。n,kは整数にしますので、床関数 floor を使って

k=floor((F.x-C.x)*4+0.1)+1;

のようにします。0.1は誤差を吸収するためのものです。磁石ツールをONにしておくと、方眼の交点のところでちょうど吸い付くようにマッチするようになりますが、このとき誤差のために整数にならないことがあるためです。

実際の描画はデカルト座標系なので

r(t):=sin(n*t/k);

fx(t):=r(t)*cos(t);

fy(t):=r(t)*sin(t);

として、fxとfyの媒介変数表示にして描きます。媒介変数なので、plot関数を用いればよいのです。

plot([fx(#),fy(#)],start->0,stop->th*pi,steps->200);

のようにします。thはスライダで設定した値です。また，steps の値によって曲線をなめらかに描くことができます。

ところで、極方程式 r=sin(nθ) で表される曲線は、nが偶数のときは2n枚の葉、nが奇数のときはn枚の葉が描かれますね。なぜこの違いができるのでしょうか。それは、上のシミュレータだけではちょっとわかりにくいでしょう。θの値の変化につれて、図がどのように描かれていくのかを理解しないとその理由はわかりません。そのようなものを作って、正葉曲線について少しつっこんで考えてみましょう。

題して、動的正葉曲線です。こちらに用意しました。

２．sinをm乗にする

正葉曲線のカーブの具合は、sinθ の値の変化と関係しています。0付近よりも π/2 付近の方が増加・減少の具合が緩やかなのです。そのため、先端が丸くなります。では、このカーブの具合を変えるとどうなるでしょう。