サイクロイド曲線
直線上をすべることなく転がっていく円周上の定点が描く軌跡（サイクロイド曲線）の方程式を求めましょう。
転がる円の半径を r , 中心を C , 定点をP , 円とx軸との接点をQとします。最初に、円の中心は ( 0 , r )にあり、x軸の正の方向に転がっていくものとします。
また、 着目している定点Pは最初は原点にあるものとします。
次の図は、r=3で、1.25πだけ回転したときの図です。
回転角に対応する弧が赤で、その弧の長さだけ進んだ距離がx軸上に赤で表示されています。この図からＰの座標を計算します。
まず、円の中心Ｃの座標を求めます。
赤いラインの長さは rθ ですから、Ｃのx座標は rθ , ｙ座標は半径と同じ r です。
次に、円Ｃで考えて、Ｐの位置を計算します。これを「Ｃの座標系で考える」ということにします。ここが大切なところです。高校数学の参考書ではベクトルを使っているものもありますが、ここではベクトルは使いません。むしろ、この「Ｃの座標系で考える」ことができるかどうかが鍵です。
転がる円の中心を原点として次のような直交座標を考えます。
この座標系で考えると、点Ｐは座標(0, -r ) すなわち 角3/2πのところから、時計回りに回って現在のＰの位置に来たことになります。（赤いラインです） 時計回りは負の角なので、Ｐの位置は 3/2π-r の角の位置であると考えられます。このとき、三角関数の加法定理を使って、次のように計算します。
これが、Ｃを原点としたときのＰの位置です。
ところで、もとの座標系では、点Ｃの座標は
x=rθ , y= r
でした。ですから、Ｐの座標は次のようになります。
