余弦定理

高校の教科書には、余弦定理として次の式が載っています。

まず、これを「定理」として示し、「証明」する、という手順です。

証明は旧課程では座標を用いていました。現在の教科書では座標を使わず、一つの頂点から対辺に垂線を下して証明を進めますが、初めに式ありきなので、「なるほどそうなる」ことはわかっても、なんとなく不自然な感じは否めません。

その点、ずっと以前の教科書の方がよいように思います。

「直角三角形以外の三角形でcosを使う」という発想です。実際の利用場面を考えても、一般の三角形でsin,cosを使って辺の長さや角度を求めるわけですから。

以前は①の式を「第１余弦定理」最後の式を「第２余弦定理」と呼んでいました。今は第１余弦定理の式は公式としては教科書に登場しません。

また、上の図は鋭角三角形ですが、鈍角三角形でも同様に進められます。