三角形の五心

三角形には「心」がつく五つの点があります。

１．重心

いわば重さの中心。均質な板でできた三角形で、この点で支えるとつり合います。

重心は３本の中線の交点。実際の作図では２本の中線を引いて交点を求めればよいです。

作図手順

(1) 線分を描くツールで三角形ABCを作る。

(2) 中点を取るツールで各辺の中点を取る。

(3) 線分を描くツールで中線をひく。

(4) 交点を求めるツールで２本の中線の交点を求める。

以上で重心が作図できます。さらに、多角形ツールで上図のように三角形ABD,GBDを指定、インスペクタで色を変えます。

また、面積を測るツールで、それぞれの面積を表示します。

これで、点Aをドラッグすると、２つの三角形の面積が表示され、それが２：１になっていることがわかります。すなわち、AG：GD = 2：1 です。

２．内心

内接円の中心。３つの内角の２等分線の交点です。実際の作図では２本の交点を求めればよいです。内心を求めたら、内接円を描くことができます。

作図手順

(1) 線分を描くツールで三角形ABCを作る。

(2) 角の２等分線をひくツールで３本の２等分線を引く。

(3) 交点を求めるツールで２本の２等分線の交点を求める。

(4) 垂線を引くツールで、Dを通り、BCに垂直な線を引く。

(5) 交点を求めるツールで垂線とBCの交点を求める。

(6) 円を描くツールで、Ｄを中心とし、半径がDEの円を描く。

３．外心

外接円の中心。３つの辺の垂直２等分線の交点です。実際の作図では２本の交点を求めればよいです。外心を求めたら、外接円を描くことができます。

作図手順

(1) 線分を描くツールで三角形ABCを作る。

(2) 中点を取るツールで３本の辺の中点を取る。

(3) 垂線を引くツールで、３本の垂直二等分線を引く。

(4) 交点を求めるツールで３本の垂直二等分線の交点を求める。

(5) 円を描くツールで、Ｇを中心とし、半径がGAの円を描く。

上の図ではインスペクタを用いて、垂直二等分線を破線にしています。

４．垂心

頂点から対辺に引いた３本の垂線の交点。実際の作図では２本の交点を求めればよいです。

作図手順

(1) 線分を描くツールで三角形ABCを作る。

(2) 垂線を引くツールで、３本の垂線を引く。

(3) 交点を求めるツールで垂線の交点を求める。

５．傍心

各辺の延長線を引きます。ある辺の外側に、３つの辺・延長と接する円（傍心円）の中心です。作図では、三角形の内心をI、傍心をPとしたとき、頂点B,Cと結んだ線が直交するという性質を用います。

作図手順

(1) 線分を描くツールではなく、直線を描くツールで三角形ABCを作る。それぞれ延長線が書かれた状態になる。

(2)  内心Ｄをとる。

(3) 垂線を引くツールで、DBの垂線、DCの垂線を引く

(4) 交点を求めるツールで垂線の交点Eを求める。

(5) 垂線を引くツールでEからBCに垂線を下す。

(6) 交点を求めるツールでBCとの交点をとる。

(7) EFを半径とした円を描く。

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