デカルトの三叉曲線

y軸上に頂点Oがある放物線があります。Oから一定の距離（ここでは１）にある点Aと、定点Ｃを結んだ直線と放物線との交点をP,Qとします。放物線（の頂点）がY軸上を動くとき、P,Qの描く軌跡がデカルトの三叉曲線です。

次の図で、緑の点を動かしたとき、点P,Qの描く軌跡です。

「曲線の事典」（礒田正美他著共立出版 2009）にはこれを作図する作図器が載っています。

放物線は２次式、点A,Cを通る直線は１次式で表されますので、その交点P,Qは簡単に求められます。点Aの位置を(0,t)とすると、P,Qの座標はtの関数として表すことができます。すなわち媒介変数表示です。そこからtを消去するとx,yの３次式ができますが、媒介変数のまま表示する方が楽です。

軌跡は次の赤い曲線になります。

作図はCinderellaの作図機能だけでできますし、点P,Qの軌跡もシンデレラのツールでできます。しかし、右側の曲線がちょっとずれるようです。

実際にWeb上で点をドラッグしてみたり、点Cの位置や放物線の開き具合を変えてみることのできるインタラクティブな図があります。