絶対値

１．絶対値は−記号をとったもの？

国語辞典で「絶対値」を引くと、たいてい次のように書かれています。

ある数aが正または零のときはa自身、負のときは負号を取り去ったもの。｜a｜で表す。

たとえば、|３|=３ , |−３|＝３です。−３は負の数なので負の記号 − を取り去って３となります。

しかし、この考え方では高校数学の絶対値の問題のほとんどは解けません。たとえば、次の問題

の答えはどうなりますか？ルート２は 1.4142・・・ですから、１−√2 は負の数です。では、負の記号をとったら？

ですか？いいえ、これは間違いです。正解は

です。

２．「計算」で−記号をとる

結論を先にいいましょう。負の数に −１を掛ければ−記号をとることができます。

（−１）×（−３）＝３

です。かけ算での×記号を略し、1を掛けるときは１も略せますので

｜−３｜＝−（−３）＝３

とできます。このように考えれば、先ほどの問題は次のようにして正解を得ることができます。

一般に、次のようにして絶対値記号をはずすことができます。

ａ≧０のとき |ａ|=ａ , ａ<0 のとき |ａ|=−ａ

これを、次のように書きます。

ここで、最初に書いたこととおおきなギャップができます。aが負の数のとき、−記号をとるには、−記号をつけるのです。ここに、高校生が絶対値でつまづく一つの原因があります。高校からは、

負の数の絶対値は−記号をとるのではなく、−記号をつけるのだ

と思うべきなのですね。これが高校からの絶対値記号の扱い方です。

３．絶対値の方程式を解く

「｜ｘ−３｜=２を満たすｘの値を求めなさい」という方程式の問題を解きます。

絶対値記号を外すには、「絶対値記号の中の数が0以上ならそのまま、負なら−記号をつける」のでした。そこで

ｘ−３≧０のときすなわちｘ≧３のとき、方程式はｘ−３=２となるのでｘ=５

ｘ−３<０のときすなわちｘ<３のとき、方程式は −（ｘ−３）=２すなわち −ｘ＋３＝２となるのでｘ=１

となります。

４．｜｜記号の深〜い意味

実は、中学・高校の教科書には、次のように書かれています。

数直線上で原点とA(ａ)との距離をａの絶対値といい、|ａ|で表す

また、

数直線上の２点A(ａ),B(ｂ)の距離ABは |ｂ−ａ|で表される

と書いてあります。

つまり、

| | 記号は距離を表す

ということです。

５．「距離」と考えて方程式を解く

先ほどの方程式「｜ｘ−３｜=２を満たすｘの値を求めなさい」を数直線上で２点間の距離として考えてみましょう。

｜ｘ−３｜はA(３)とB(ｘ)の距離を表しますので、方程式の意味は「A(３)からの距離が２に等しい数B(ｘ)を求めよ」となります。

すると、図から明らかな通り、ｘ＝５またはｘ＝１となります。

では、｜ｘ＋２｜＝３はどうしますか？

｜ｂ−ａ｜がA(ａ)とB(ｂ)の距離ですから、｜ｘ＋２｜＝３は｜ｘ−（−２）｜＝３と考えます。こうすれば、−２からの距離を考えて解決します。

６．さらに進んだ内容その１

絶対値を含む関数（実際にやってみるにはCinderella.2 が必要です。持っていない人はダウンロードしましょう。読むだけならCinderella.2はいりません。）

７．さらに進んだ内容その２

８．さらに進んだ内容その３