二項展開

2つの項からなる多項式のn乗の展開を二項展開といいます。

パスカルの三角形

a+b のn乗を展開したとき、各項の係数はある規則に従って決まります。その一つが

n-1乗の展開式の隣り合う項の係数の和になる

というものです。

a+b のn乗の展開式を並べて書いていくとその規則が見えてきます。

次の図は3乗まで書いたところです。上の意味がわかるでしょうか。

4乗、5乗とやっていくとよくわかります。

さて、各項の係数だけを三角形状に並べたものをパスカルの三角形といいます。

これを使えば、がんばって展開しなくてもn乗の係数は順にわかるのです。

では、なぜこのような規則になるのでしょうか。

それも、この三角形をみながら考えてみましょう。

二項定理

パスカルの三角形を使うと a+b のn乗の係数がわかりますが、順番に求めていかないといけないという欠点があります。

たとえば、７乗の係数を知るには６乗の係数がわかっていないといけません。

では、７乗の係数を一度に計算する方法はあるでしょうか。

それには、「組み合わせ」の計算を用います。