ハイポサイクロイド（内サイクロイド）hypocycloid
定円上を内接しながらすべることなく転がっていく円（動円）周上の定点が描く軌跡です。
次の図の左がスタートの図。円Ｃが反時計回りに外側の円に内接しながら転がっていきます。Ｐの軌跡が右のようになります。
動円の半径を b , 中心を C , 定点をP、原点Oを中心とする定円の半径をa、2円の接点をQとします。最初に、動円の中心は ( a-b, 0 ) にあり、定円上を反時計回りに転がっていくものとする。また、 着目している定点Pは、最初はA（ a , 0 ）にあるものとします。
動きを見ることのできるインタラクティブな図があります。
軌跡の方程式を求めるには、動円の中心Ｃの位置と、動円における点Ｐの位置の二つに分けて計算してから、それを足し合わせます。平行移動の考え方です。ハイポサイクロイドでは、「すべることなく」というのが鍵です。つまり、次の図に示されている赤い弧の長さが等しいのです。このことから、角θだけ回転したときのＣの位置とＰの位置が計算できます。
まず、Ｃの座標は x=(a-b)cosθ , y=(a-b)sinθ です。
次にＣを原点とした座標系で動円を考えます。赤い角に対応する中心角をαとしますと、定円の弧の長さが aθ ですので、次のように計算ができます。
したがって、点Ｑの位置から時計回りにαだけ回れば点Ｐの位置になります。エピサイクロイドのときはこれが反時計回りでした。ハイポサイクロイドでは時計回りになります。小さい方の円がどちらに回っているかを考えてみましょう。
では、点Ｑの位置を考えます。
点Ｑは2円の接点で、初めはx軸上にありました。円Ｃで考えると、（ b , 0 ）にあったことになります。そこから、角θだけ回って現在の位置に来ています。ですから、Ｃを原点とした座標系での点Ｐの位置は、
となります。
ですから、もとの座標系で考えると、Ｃの位置にＣの座標系におけるＰの位置を加えて
となります。これがハイポサイクロイドの媒介変数表示です。