ハイポサイクロイド（内サイクロイド）hypocycloid

定円上を内接しながらすべることなく転がっていく円（動円）周上の定点が描く軌跡です。

次の図の左がスタートの図。円Ｃが反時計回りに外側の円に内接しながら転がっていきます。Ｐの軌跡が右のようになります。

動円の半径を b , 中心を C , 定点をP、原点Oを中心とする定円の半径をa、2円の接点をQとします。最初に、動円の中心は ( a-b, 0 ) にあり、定円上を反時計回りに転がっていくものとする。また、 着目している定点Pは、最初はA（ a , 0 ）にあるものとします。

動きを見ることのできるインタラクティブな図があります。

軌跡の方程式を求めるには、動円の中心Ｃの位置と、動円における点Ｐの位置の二つに分けて計算してから、それを足し合わせます。平行移動の考え方です。ハイポサイクロイドでは、「すべることなく」というのが鍵です。つまり、次の図に示されている赤い弧の長さが等しいのです。このことから、角θだけ回転したときのＣの位置とＰの位置が計算できます。

まず、Ｃの座標は x=(a-b)cosθ , y=(a-b)sinθ です。

次にＣを原点とした座標系で動円を考えます。赤い角に対応する中心角をαとしますと、定円の弧の長さが aθ ですので、次のように計算ができます。

したがって、点Ｑの位置から時計回りにαだけ回れば点Ｐの位置になります。エピサイクロイドのときはこれが反時計回りでした。ハイポサイクロイドでは時計回りになります。小さい方の円がどちらに回っているかを考えてみましょう。

では、点Ｑの位置を考えます。

点Ｑは2円の接点で、初めはx軸上にありました。円Ｃで考えると、（ b , 0 ）にあったことになります。そこから、角θだけ回って現在の位置に来ています。ですから、Ｃを原点とした座標系での点Ｐの位置は、

となります。

ですから、もとの座標系で考えると、Ｃの位置にＣの座標系におけるＰの位置を加えて

となります。これがハイポサイクロイドの媒介変数表示です。

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