メネラウスの定理とチェバの定理

メネラウスの定理

三角形と直線があり、三角形の辺またはその延長と直線が交わっています。交点は必ず3個でき、それらは、各辺を内分または外分する点です。このとき、三角形の一つの頂点から出発し、各分点を経由しながらその比を取っていくと、比の積が１になります。

この図でいうと、三角形がABC、直線が緑の直線です。交点はP,Q,Rの３つあります。このとき、Aから出発してAR：RB、BP：PC、CQ：QAと比をとり、それを分数で表してかけると１になるのです。

図では、比の値の変化が分かるように、BP：PCＰ、CQ：QAとAR：RBを分けてあります。AR：RBは分母・分子が逆なので同じ値になるわけです。

チェバの定理

三角形と点があり、その点と三角形の各頂点を結んだ直線は、辺またはその延長と3箇所で交わります。それらは、各辺を内分または外分する点です。このとき、三角形の一つの頂点から出発し、各分点を経由しながらその比を取っていくと、比の積が１になります。式の形はメネラウスの定理とまったく同じです。

この図でいうと、三角形がABC、点が緑の点です。交点はP,Q,Rの３つあります。このとき、Aから出発してAR：RB、BP：PC、CQ：QAと比をとり、それを分数で表してかけると１になるのです。緑の点は三角形の外部にあってもかまいません。

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