体積の問題 北海道大学 2007年
2007年の北海道大学の問題です。問題文は入試問題集などを参照してください。
座標空間において
の表す立体の体積を求めます。
この立体をイメージするのはかなり困難でしょう。しかし、体積の計算だけなら、平面 z=t で切った断面の面積を求めて、それを０から１まで積分すれば求められます。
断面がどうなるかは、4番目の式で z=t とおいて、yの２次方程式と思って解いてしまえば断面の曲線が得られます。
を解くと
となりますので、不等式は左辺が因数分解できて次のようになります。
左辺は２つの１次式の積で、これは平行な2直線のその側の領域を表します。
これで、断面の図が描け、断面積は簡単に計算できます。
断面は次のような図になります。青の部分が断面です。
なお、この図で正方形の中に線が引かれていますが、これは３Ｄで遠近法で向こう側の面も描画しているからです。
さて、断面の形はわかったとして、この立体の全体像をイメージすることができますか？
やはり結構難しいでしょう。
このような図になります。0 ≦ z ≦ t の部分です。
