2進数と16進法

１．10進数から２進数へ

10進数を２進数に変換する関数を作ります。

ExcelやCalcですと、DEC2BIN()という関数があり、これで10進数を２進数に変換できます。

しかし、大きな数は変換できません。511までです。

８ビット（１バイト）の2進数では、10進数の０から255まで（負でない整数の場合）まで表せます。

１６ビットでは10進数の０から65535までです。現在のコンピュータは64ビットでの計算ができるようになっていますが、まずは16ビットくらいまでは変換できるようにしましょう。CindyScriptを使ってそのための関数を作ります。

10進数を２進数に変換するには、正の整数の場合、2で次々に割りながら、その余りをビットとして立てていくのでした。このことは、単に手続きとして暗記するのではなく、位取り記数法の原理として理解しておきましょう。

では、10進数を２進数に変換する関数を作ります。関数定義はInitializationスロットに書くとよいでしょう。

次のようなスクリプトにしてみました。(行番号は実際には不要です)

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 1 :  bin=["0","1"];

 2 : 

 3 :  dec2bin(n):=(

 4 :    keta=if(n>255,16,8);

 5 :    binstr="";

 6 :    repeat(keta,

 7 :      binstr=bin_(mod(n,2)+1)+binstr;

 8 :       n=floor(n/2);

 9:     );

10:    binstr;

11: );

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

まず１行目で、２進数の各桁で使う文字、０と１をリストにしておきます。

3行目が関数の名前。引数はｎです。ここで、ｎは正の整数であるという前提です。そうでない場合はどうするかはあとで考えましょう。

4行目、引数のnの大きさにより、8ビットで表すか16ビットで表すかを決めます。この数は、6行目の繰り返し数にもなります。

5行目、結果を表す文字列です。最初は空。

6行目から9行目が計算。繰り返しです。

7行目、nを2で割った余り mod(n) を求めます。０か１ですので、１を足してbinリストから該当する文字を取り出します。たし算になっていますが、文字列のたし算は文字の追加になります。

8行目、nを2で割った商をあらためてnとします。floorという関数は床関数というもので、その数を超えない最大の整数を求めるものです。

数学の教科書ではガウス記号で表されるものです。floorはCindyScriptに用意されている関数です。

9行目、繰り返します。途中でnは０になることがありますが、かまわず繰り返します。それによって8ビットもしくは16ビットの表示ができるわけです。

10行目、戻り値です。CindyScriptの関数定義では、最後に評価された（計算された）結果が戻り値となります。ここでは何も計算していませんが

binstrを「評価」したので、binstr が戻り値となります。この行がないと、戻り値は8行目のnになってしまいます。

これで関数定義ができたので、Drawスロットに書いて実行してみましょう。

２．10進法から16進数へ

10進数を16進数に変換する関数を作ります。原理は２進数の場合と同じですから、先ほどのスクリプトを少し書き換えればいいですね。

最初に16進数で使う文字０からＦまでのリストを作っておきます。16進数なのでこんどは hex とします。

hex=["0","1","2","3","4","5","6","7","8","9","A","B","C","D","E","F"];

あとは、255以下なら2桁表示、256以上なら4桁表示とし、2で割るところを16で割るようにすればいいだけです。こんな結果になります。

３．負の数へ拡張

ExcelやCalcのDEC2HEX関数は、負の整数も変換します。−512までです。つまり、ExcelやCalcでは、２進数への変換については、10ビットまでできるということになります。ただ、プログラミングの観点からすると、10ビットというのは中途半端なので、ここでも8ビットまたは16ビットとしましょう。

さて、8ビットで正の数と負の数を表すためには、まず、「正か負か」という情報が必要になり、そのために最上位（一番左）の1ビットを使います。ここが0なら正、1なら負、とします。残り7ビットで数を表すので、正の数は127まで表せます。次に負の数ですが、「絶対値が同じ正の数と負の数の和は０」ということに着目します。さらに、２進数では、1＋1＝10 と「１たす１」で桁が上がって０になる、ことも考慮すると

0001＋1111＝10000

となって、はみだした一番左の１を除けば4ビット分は０になります。すなわち、−１を4ビットで表すと1111です。このような表現方法を「２の補数」というのですが、この「補数」というのがわかりにくい言葉で、これでめげてしまう人も結構います。教科書によっては「各ビットを反転させた１の補数に１を加える」という説明がしてあるのもあり、「補数」でますますわけがわからなくなる人もいるでしょう。

「補数」はパスして、「1111（8ビットなら11111111）が −１でそこから１ずつ引いていく（−２は1110、−３は1101・・・）」と考えたり、「とにかく足して 0000・・・になるようにする」と考えたり、そこは人によって覚えやすい方法をとればよいでしょう。

では、スクリプトを書くには、どのアルゴリズムを使えばよいでしょう。

「各ビットを反転させた１の補数に１を加える」の「１を加える」がヒントになります。実際の表記を眺めてみましょう。簡単のため４ビットにします。

10進  −５  −４  −３  −２   −１   ０ １ ２ ３ ４ ５

２進 1011 1100 1101 1110 1111 0000 0001 0010 0011 0100 0101  

どうでしょう。「１を加えた数」を比べると、すべてのビットが反転していることに気がつきましたか。「１を引くと」でもいいですよ。

「−４に１を加えて−３。符号を変えた３のビットを反転させれば−４の２進表記」になっていますね。

逆に、「−４の符号を変えて４，1を引いて３，３のビットを反転」でもいいでしょう。

次のようなスクリプトにしてみました。関数名は、符号付ということでsgnをつけました。

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 1 : bin=["0","1"];

 2 : 

 3 : dec2binsgn(n):=(

 4 :  keta=if(or(n>127,n<-128),16,8);

 5 :  if(n<0,bin=reverse(bin);

 6 :           wn=abs(n)-1,

 7 :           wn=abs(n);

 8 :  );

 9 :  binstr="";

10:   repeat(keta,

11:     binstr=bin_(mod(wn,2)+1)+binstr;

12:      wn=floor(wn/2);

13:   );

14:   binstr;

15: );

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

4行目 表示桁数を決めます。

5行目 nが負の数だったら、binの順序を入れ替えて bin=["1","0"] にするのです。つまりビット反転。

6行目 5行目の続きです。wnを設定します。「nの符号を変えて１を引く」

7行目 nが負でなければ、wnはそのままnを代入します。

8行目から後は先ほどと同じ。次々に２で割っていきます。

４．10進小数を２進小数へ

まず、小数の表現について。10進数で考えたものをそのまま２進数に適用します。

たとえば、 0.8125 を２進数で表すと 0.8125=0.5+0.25+0.0625  なので 0.1101 となります。

これを機械的にやっていくには、つぎのように、次々に２をかけながら、その整数部分をとっていきます。

0.1 は２進数では無限小数になるのです。

このことは、コンピュータにおける計算誤差の問題に直接関わってきます。

５. 浮動小数点

実数を表すには浮動小数点法が用いられます。

32ビットで表す場合（単精度という），一番左が符号ビット，次の８ビットが指数，そのあとが仮数です。

指数，仮数というのは，たとえば10進数で 123456.78 を 1.2345678×10の５乗 と表したとき，５が指数，1.2345678が仮数です。

これと同じことを２進法で行うわけです。

スクリプトは簡単ではないのでここでは省略します。

この他，10進数，2進数，16進数の相互変換をする「基数変換」をWeb上で実行できます。

→ http://userweb.pep.ne.jp/hannyalab/practiceh/kisuuhenkan.html

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