2次関数のグラフと方程式・不等式

２次関数のグラフと２次方程式・２次不等式の解

２次方程式の解法（因数分解・解の公式）はすでに知っているものとします。この節では、２次関数のグラフと２次方程式の関係、そして、２次不等式の解法を考えていきます。

２次関数

・・・ (a)

のグラフとｘ軸との共有点（接点または交点）のx座標を考えます。

ここでのポイントは

ある点が曲線上にある ⇔ 曲線がある点を通る ⇔ その点の座標は曲線の式を満たす

ということです。

ｘ軸上の点はｙ座標が０ですので、(a)式でｙ＝０とすると、2次方程式

ができます。したがって、グラフとｘ軸との共有点のx座標はこの方程式を満たすわけですから、２次方程式の解ということになります。

では、(a)のグラフ上の点で、ｘ軸上以外の点についてはどんな式を満たすのでしょうか。

Cinderellaで、グラフ上の点と(a)の右辺の符号を調べるものを作って状況を観察しましょう。

上の図で、−1<x<2 のとき、式の符号は負になり、x<−1 , 2<x のとき、式の符号は正になることがわかるでしょう。

このことは、−1<x<2 やx<−1 , 2<x が２次不等式の解であることを示しています。すなわち

ということです。

このように、グラフを利用すると、不等式を解くことができます。このことは2次不等式には限りません。

たとえば、３次不等式でも

となります。

2次方程式の解の存在範囲

高校数学（数学Ⅰ）では、２次不等式のあとに、２次方程式の解の存在範囲の問題を扱います。高校生にとって難解なところです。

次のような問題です。

この問題は、後に２次方程式の解と係数の関係について学んだときに再登場します。解と係数の関係を用いて条件式を立てるのですが、グラフを用いる方が応用がききます。

ここでは、教科書とは異なるアプローチでこの問題を考えてみます。

まず、「文字係数の2次関数の頂点のｙ座標が2次関数になる」ことを理解しましょう。

すると、文字係数の2次関数のグラフは、係数を変化させると、頂点が放物線を描くように動くことになります。

このことを、Cinderellaを使って確かめましょう。

この図では、x軸上の点をドラッグすることにより、aの値を変化させることができます。

図で緑の放物線は頂点が描く放物線です。aの値を変化させると、頂点がこの放物線に沿って動きながら

青の放物線全体が動きます。２次方程式の実数解はｘ軸との共有点のｘ座標ですので、上図では、異なる２つの正の実数解があることになります。

さて、問題は、そのための条件を拾い出すことです。

「異なる２つの実数解を持つ」のですから、判別式Ｄ＞０はもちろん条件の一つです。

その２つの実数解が正の数であるために、あと２つ条件があるのですが、それを、上図でaの値を動かしながら発見するわけです。

そのために、もとの式が変えられるようになっています。

ヒントのひとつは右の方にある「軸表示」ボタンです。