Embedded Files
Vi vil nu bestemme differentialkvotienten for en vilkårlig x-værdi x0 der tilhører definitionsmængden for funktionen
f(x) = x2
Røringspunktets koordinater er ( x0 , f(x0) )
Hjælpepunktets koordinater er ( x , f(x) )
For at beregne sekantens hældningskoefficient skal vi bruge forskellen mellem de to andenkoordinater
Δf = f(x) - f(x0) = x2 - x02
og forskellen mellem de to førstekoordinater
Δx = x - x0
Sekantens hældningskoefficient er dermed
Figur 18.4.1.
Da differentialkvotienten er lig med grænseværdien af sekanthældningen for x gående imod x0 , vil vi forsøge at beregne denne grænseværdi ved at sætte x = x0 i formlen, som vi gjorde i eksemplerne i afsnit 18.1. Men x0 kan ikke umiddelbart indsættes, da nævneren herved vil blive lig med nul. Tricket er at omskrive udtrykket for sekanthældningen ved at faktorisere tælleren i stil med det, vi gjorde i eksempel 18.1.3.
Bruger vi tredje kvadratsætning fra afsnit 4.3 fås
x2 - x02 = (x + x0) ∙ (x - x0)
Ved indsættelse af dette i udtrykket bliver sekantens hældning
Det er nu muligt at sætte x = x0 i formlen og udregne grænseværdien af sekanthældningen for x gående imod x0 .
Da vi nu har en grænseværdi for sekanthældningen, kan vi konkludere at differentialkvotienten er lig med
f '(x0) = 2 x0
Tre-trins-reglens 3 trin
Tre-trins-reglens 3 trin
Trin 1
Opskriv et udtryk for sekantens hældning vha. regneforskriften.
Trin 2
Reducer det opskrevne udtryk fra trin 1, så det er muligt at sætte x = x0 . Dette trin kræver ofte, at man får den rette ide.
Trin 3
Grænseværdien beregnes ved at indsætte x = x0 . Grænseværdien er lig med differentialkvotienten.
Figur 18.4.2 viser, hvordan man for forskellige funktioner reducerer i trin 2.
Figur 18.4.2.
Page updated
Report abuse