Embedded Files
Polynomiers rødder
Polynomiers rødder
Man kan generalisere sætningen, at et andengradspolynomium højest kan have to rødder til, at et n’te-gradspolynomium højest kan have n rødder. Det bevises i afsnit 17.4. Figur 7.5.1 og 7.5.2 viser eksempler på det mulige antal rødder for hhv. tredjegradspolynomier og fjerdegradspolynomier.
Figur 7.5.1a. Polynomium af 3. grad med 3 rødder.
Figur 7.5.1b. Polynomium af 3. grad med 2 rødder.
Figur 7.5.1c. Polynomium af 3. grad med 1 rod.
Figur 7.5.2a. Polynomium af 4. grad med 4 rødder.
Figur 7.5.2b. Polynomium af 4. grad med 3 rødder.
Figur 7.5.2c. Polynomium af 4. grad med 2 rødder.
Figur 7.5.2d. Polynomium af 4. grad med 0 rødder.
a-værdiens betydning for polynomier af lige grad
For at sige noget om a-værdiens betydning for polynomiets grafiske forløb når x-værdien bliver stor (både positiv og negativ), kan vi nøjes med at betragte n'te-gradspolynomiet p(x) = an∙xn. Det skyldes, at dette n'te-gradsled vil få en større værdi end alle de andre led ligegyldigt værdien af de andre leds koefficienter, når bare x-værdien bliver stor nok. Derfor er leddet an∙xn bestemmende for polynomiets overordnede grafiske forløb.
Når x bliver et meget stort positivt tal (x går mod uendeligt), vil xn blive et meget stort positivt tal (xn går mod uendeligt), fordi et stort tal ganget med sig selv n gange bliver et endnu større tal.
Når x bliver et meget stor negativt tal (x går mod minus uendeligt), vil xn blive et meget stort positivt tal (xn går mod uendeligt), fordi et stort negativt tal ganget med sig selv et lige antal gange bliver et endnu større og positivt tal (alle minus-tegnene kan danne par, så de til sammen bliver plus-tegn).
Hvis a-værdien er positiv, vil p(x) = an∙xn også blive positiv, fordi xn er positiv. Derfor vil polynomiets grene pege opad.
Hvis a-værdien er negativ, vil p(x) = an∙xn også blive negativ, fordi xn er positiv. Derfor vil polynomiets grene pege nedad.
Pga. grenenes forløb kan polynomier af lige grad have nul rødder. Et eksempel på dette er vist i figur 7.5.2d.
a-værdiens betydning for polynomier af ulige grad
Igen nøjes vi med at betragte n'te-gradspolynomiet p(x) = an∙xn, da n'te-gradsleddet er bestemmende for polynomiets overordnede forløb.
Når x bliver et meget stort positivt tal (x går mod uendeligt), vil xn blive et meget stort positivt tal (xn går mod uendeligt), fordi et stort tal ganget med sig selv n gange bliver et endnu større tal.
Når x bliver et meget stor negativt tal (x går mod minus uendeligt), vil xn blive et meget stort negativt tal (xn går mod minus uendeligt), fordi et stort negativt tal ganget med sig selv et ulige antal gange bliver et endnu større og negativt tal (alle minus-tegnene på nær ét kan danne par, så der vil være et minus-tegn i overskud).
Hvis a-værdien er positiv, vil an∙xn blive positiv for store positive x-værdier, fordi xn er positiv for disse x-værdier. Tilsvarende vil an∙xn blive negativ for store negative x-værdier, fordi xn er negativ for disse x-værdier. Dette betyder, at grafen for polynomiet vil bevæge sig fra 3. kvadrant og op gennem 1. kvadrant.
Hvis a-værdien er negativ, vil an∙xn blive negativ for store positive x-værdier, fordi xn er positiv for disse x-værdier. Tilsvarende vil an∙xn blive positiv for store negative x-værdier, fordi xn er negativ for disse x-værdier. Dette betyder at grafen for polynomiet vil bevæge sig fra 2. kvadrant og ned gennem 4. kvadrant.
Polynomier af ulige grad har mindst en rod, fordi deres grene peger i hver sin retning i forhold til x-aksen. Et eksempel på dette er vist i figur 7.5.1c.
Toppunkter
Toppunkter
Polynomier af lige grad vil have et ulige antal toppunkter, fordi deres grene peger i samme retning. De har som minimum et toppunkt, mens det maksimale antal toppunkter vil være en mindre end polynomiets grad. Figur 7.5.3 viser hvordan fjerdegradspolynomiet kan have et toppunkt eller tre toppunkter.
Figur 7.5.3a. Et toppunkt.
Figur 7.5.3b. Tre toppunkter.
Polynomier af ulige grad vil have nul eller et lige antal toppunkter. Da deres grene peger i her sin retning, kan man ikke forestille sig en situation, hvor der er et ulige antal toppunkter. Det maksimale antal toppunkter vil også her være en mindre end polynomiets grad. Figur 7.5.4 viser hvordan tredjegradspolynomiet kan have nul eller to toppunkter.
Figur 7.5.4a. Nul toppunkter.
Figur 7.5.4b. To toppunkter.
Faktorisering
Faktorisering
Alle polynomier kan faktoriseres, hvis de har en eller flere rødder. Faktoriseringsformlen for andengradspolynomiet kan generaliseres til at gælde for et n’te-gradspolynomium. Hvis n’te-gradspolynomiet pn(x) har n rødder kan det omskrives på følgende måde, hvor x1 til xn angiver rødderne
pn(x) = an ∙ xn + an-1 ∙ xn-1 + ... + a2 ∙ x2 + a1 ∙ x + a0
pn(x) = an ∙ (x - x1 ) ∙ (x - x2 ) ∙ ... ∙ (x - xn )
Eksempel 1
Fjerdegradspolynomiet
p(x) = -0,1 ∙ x 4 + 1,5 ∙ x 2 - x - 2,4
har rødderne -4, -1, 2, 3. Det kan vi finde ved at løse ligningen p(x) = 0 i WordMat, som vist i figur 7.5.5.
Polynomiet kan derfor skrives
p(x) = -0,1 ∙ (x + 4) ∙ (x + 1) ∙ (x - 2) ∙ (x - 3)
Figur 7.5.5. Rødder fundet vha. WordMat.
Eksempel 2
WordMat kan faktorisere polynomiet fra eksempel 1 for os, så vi direkte kan aflæse rødderne. Figur 7.5.6 viser, hvordan man finder faktoriseringsværktøjet i menuen samt resultatet.
Figur 7.5.6. Faktorisering vha. WordMat.
Eksempel 3
WordMat kan omskrive et faktoriseret polynomium for os, så de enkelte led fremkommer. Figur 7.5.7 viser, hvordan man finder udvidelsesværktøjet i menuen samt resultatet.
Figur 7.5.7. Hævning af parenteser vha. WordMat.
Page updated
Report abuse