I dagligdags tale bruges ordet kombination både om noget, hvor rækkefølgen er ligegyldig, og om noget hvor rækkefølgen ikke er ligegyldig. Et eksempel på hvert tilfælde er

• "En pose Matador Mix består af en kombination af vingummi, lakrids og dragé". Her er rækkefølgen af sliktypen ligegyldig, vi kunne lige så godt have sagt "lakrids, vingummi og dragé".

• "Låsens kombination er 5-2-1". Her er rækkefølgen af tallene yderst betydende, idet 2-1-5 f.eks. ikke virker.

I matematik anvender vi følgende begreber

• Når rækkefølgen ikke har betydning, laver man en kombination, når man bestemmer antal muligheder.

• Når rækkefølgen har betydning, laver man en permutation, når man bestemmer antal muligheder.

Dette afsnit handler om antallet af måder hvorpå noget kan permuteres.

Der findes to typer af permutationer.

Permutationer hvor gentagelser er tilladt (permutationer med tilbagelægning)

Koden på låsen kunne være 1-1-4-3.

Permutationer hvor gentagelser ikke er tilladt (permutationer uden tilbagelægning)

I et løb med 4 deltagere kan der ikke være 2 på førstepladsen. Placeringerne fra 1 til 4 skal fordeles mellem deltagerne.

For at beregne antallet af permutationer skal vi bruge multiplikationsprincippet, idet vi både skal indstille første ciffer og andet ciffer og tredje ciffer og fjerde ciffer.

Ved første ciffer er der 10 valgmuligheder (tallene fra 0-9). For hvert af de første 10 muligheder er der yderligere 10 valgmuligheder ved andet ciffer. Sådan fortsætter det med yderligere 10 valgmuligheder for hvert ciffer. Antallet af permutationer bliver

10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10.000

For at beregne antallet af permutationer bruger vi multiplikationsprincippet, idet vi både skal finde førstepladsen og andenpladsen og tredjepladsen og fjerdepladsen.

Ved første pladsen er der 4 løbere at vælge mellem. Når vi har valgt førstepladsen er der 3 løbere tilbage, der kan besætte andenpladsen. Når vi har valgt andenpladsen er der 2 løbere tilbage, der kan besætte tredjepladsen. Når vi har valgt tredjepladsen er der 1 løber tilbage, der kan besætte fjerdepladsen. Antallet af permutationer bliver

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

Hvis vi skal bestemme antal permutationer i et almindeligt sæt spillekort med 52 kort bruger vi multiplikationsprincippet, idet vi både skal vælge det første kort, og det andet kort, osv. til det 52. kort

Ved første valg er der 52 kort at vælge mellem. Ved andet valg er der 51 kort at vælge mellem. Sådan fortsætter udvælgelsen ned til det sidste kort. Antallet af permutationer bliver

52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 ∙ ... ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

Regnestykket er langt og derfor tidskrævende og fyldt med risiko for fejlindtastninger. For at afhjælpe denne type beregninger, hvor man skal gange en række heltal sammen, der hele tiden bliver 1 mindre og ender med 1, har man opfundet begrebet fakultet. Man skriver det største tal efterfulgt af et udråbstegn. Dvs.

52! = 52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 ∙ ... ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

Symbolet "52!" læses som "52 fakultet". Symbolet indtastet direkte i et værktøjsprogram og der laves en almindelig beregning:

52! = 8,066 ∙ 1067

Bemærk at 1! = 1 og at man har defineret at 0! = 1. Det giver umiddelbart ikke mening at 0! = 1, men definitionen afhjælper nogle problemer, der ellers ville opstå. Et eksempel herpå kan ses i figur 9.4.5.

I et spil Whist skal man have 13 kort. Her vil vi bestemme antallet af måder hvorpå man kan vælge 13 kort ud af 52 kort. Antallet af permutationer bliver

52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 ∙ 47 ∙ 46 ∙ 45 ∙ 44 ∙ 43 ∙ 42 ∙ 41 ∙ 40

Da der ved denne lange udregning også er der risiko for fejl, benytter man følgende metode. Man ganger først udregningen med 39! og dividerer bagefter med 39!. Resultatet forbliver selvfølgelig uændret, men man kan skrive regnestykket meget kort

52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 ∙ 47 ∙ 46 ∙ 45 ∙ 44 ∙ 43 ∙ 42 ∙ 41 ∙ 40 ∙ 39! / 39!

= 52! / 39! = 3,954 ∙ 1021

Eksemplet illustrerer ideen til opstilling af en formel for antal permutationer vha. fakultetssymbolet.