Embedded Files
Geometrisk bevis
Geometrisk bevis
Kvadratsætningerne kan bevises ved at betragte a og b som sider i kvadrater eller rektangler. Herved vil produkterne a2, b2 og a∙b kunne fortolkes som arealet af det pågældende kvadrat eller rektangel. I de følgende figurer er alle vinkler rette.
Første kvadratsætning
Første kvadratsætning
Beviset beskrives med figurene 4.3.2.1a til 4.3.2.1d.
Figur 4.3.2.1a. Der laves et kvadrat med sidelængden a.
Figur 4.3.2.1b. Siderne forlænges i den ene retning med stykket b.
Figur 4.3.2.1c. Arealerne af firkanterne beregnes ud fra sidelængderne.
Figur 4.3.2.1d. Arealet af hele figuren beregnes ud fra sidelængderne.
Ved at sammenligne arealerne på figur 4.3.2.1c og 4.3.2.1d fås sammenhængen
a2 + a∙b + a∙b + b2 = (a + b)2
Venstre side af udtrykket kan reduceres, så vi får
a2 + b2 + 2∙a∙b = (a + b)2
Vi er nu kommet frem til det udtryk, som udgør første kvadratsætning. Sætningen er dermed bevist.
Anden kvadratsætning
Anden kvadratsætning
Beviset beskrives med figurene 4.3.2.2a til 4.3.2.1e.
Figur 4.3.2.2a. Der laves et kvadrat med sidelængden a. Arealet beregnes.
Figur 4.3.2.2b. Siderne afkortes fra den ene ende med stykket b.
Figur 4.3.2.2c. Arealet af de to kvadrater beregnes.
Figur 4.3.2.2d. Arealet af det ene rektangel beregnes.
Figur 4.3.2.2e. Arealet af det andet rektangel beregnes.
Ved at sammenligne arealerne på figur 4.3.2.2a, 4.3.2.2c, 4.3.2.2d og 4.3.2.2e fås sammenhængen
a2 = (a - b)2 + a∙b + a∙b - b2
a2 = (a - b)2 + 2∙a∙b - b2
a2 + b2 - 2∙a∙b = (a - b)2
Vi er nu kommet frem til det udtryk, som udgør anden kvadratsætning. Sætningen er dermed bevist.
Tredje kvadratsætning
Tredje kvadratsætning
Beviset beskrives med figurene 4.3.2.3a til 4.3.2.3d.
Figur 4.3.2.3a. Der laves et kvadrat med sidelængden a.
Figur 4.3.2.3b. Den ene side forlænges i den ene retning med stykket b. Arealerne af firkanterne beregnes.
Figur 4.3.2.3c. Den anden side afkortes fra den ene ende med stykket b.
Figur 4.3.2.3d. Arealerne af firkanterne beregnes.
Ved at sammenligne arealerne på figur 4.3.2.3b og 4.3.2.3d fås sammenhængen
a2 + a∙b = (a + b)∙(a - b) + a∙b + b2
a2 - b2 = (a + b)∙(a - b)
Vi er nu kommet frem til det udtryk, som udgør tredje kvadratsætning. Sætningen er dermed bevist.
Page updated
Report abuse