Matematik B-niveau - 16.9 Tangenter til cirkler

16.9 Tangenter til cirkler

I tilfældet hvor der netop er ét skæringspunkt mellem en cirkel og en ret linje, vil den rette linje være en tangent til cirklen.

For at undersøge, om en given linje er tangent til en given cirkel, bestemmes afstanden mellem cirklens centrum og linjen. Hvis afstanden er lig med cirklens radius, vil linjen være en tangent til cirklen. Denne procedure er beskrevet i eksempel 1 i afsnit 16.8.

I dette afsnit beskrives, hvordan man bestemmer ligningen for tangenter til en given cirkel.

Eksempel 1 - Ligning for tangent gennem given punkt

Punktet P(2,0) ligger på cirklen C med ligningen (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25. Det ses let ved, at koordinaterne for P opfylder ligningen for C. Indsættes P's koordinater i cirklens ligning får man nemlig 25

(2 + 2)2 + (0 - 3)2 = 42 + (-3)2 = 16 + 9 = 25

Vi vil nu bestemme ligningen for den tangent til cirklen, som går gennem punktet P.

Vi kender allerede et røringspunkt på tangenten, nemlig P. Vi mangler blot et mål for tangentens hældning.

Det vil altid være sådan, at tangenten står vinkelret på linjen gennem cirklens centrum og røringspunktet. Vi kan derfor benytte vektoren fra røringspunktet P(2,0) til cirklens centrum C(-2,3) som normalvektor for linjen.

Ved at indsætte oplysningerne i den generelle ligning for linjen fås

Tangenten til cirklen C gennem røringspunktet P er altså

-4x + 3y + 8 = 0

Figur 16.9.1.

Eksempel 2 - Ligning for tangent med bestemt hældningskoefficient

Pga. cirklens form vil man altid kunne finde to tangenter med samme hældningskoefficient. Røringspunkterne for disse to tangenter vil befinde sig på diametralt modsatte side af centrum.

Vi vil nu bestemme ligningen for de to tangenter til cirklen med ligningen (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25, som har en hældningskoefficient på -0,5.

For de to tangenter kan vi umiddelbart opskrive de to ligninger

t1 : y = -0,5 ∙ x + b1

t2 : y = -0,5 ∙ x + b2

For at bestemme b-værdien for tangenterne skal vi kende et punkt på tangenterne. Hvis dette punkt har koordinaterne (xt, yt), kan b-værdien bestemmes med formlen

b = yt - a ∙ xt = yt + 0,5 ∙ xt

Det eneste punkt på tangenterne, som vi kan bestemme, er røringspunktet med cirklen. Dette gøres ved først at bestemme en ligning for den linje m, der går gennem begge røringspunkter og gennem cirklens centrum, og derefter bestemme skæringspunkterne mellem linje m og cirklen.

For de to tangenter kan vi umiddelbart opskrive de to ligninger

t1 : y = -0,5 ∙ x + b1

t2 : y = -0,5 ∙ x + b2

For at bestemme b-værdien for tangenterne skal vi kende et punkt på tangenterne. Hvis dette punkt har koordinaterne (xt, yt), kan b-værdien bestemmes med formlen

b = yt - a ∙ xt = yt + 0,5 ∙ xt

Figur 16.9.2.

Det viser sig, at to rette linjer er ortogonale, hvis produktet af deres hældningskoefficienter er lig med -1. Det bevises efter dette eksempel. Hældningskoefficienten af linje m kan derfor bestemmes på følgende måde

am ∙ at = -1

am = -1 / at

am = -1 / -0,5 = 2

Ligningen for linje m kan nu bestemmes, fordi vi kender hældningskoefficienten am = 2 og et punkt på linjen, som er cirklens centrum C(-2, 3). Skæringen med y-aksen er bm = y - am ∙ x = 3 - 2 ∙ (-2) = 3 + 4 = 7. Dvs.

m: y = 2x + 7

Skæringspunkterne mellem m og cirklen bestemmes ved at indsætte udtrykket for y i cirklens ligning

(x + 2)2 + (y - 3)2 = 25

(x + 2)2 + (2x + 7 - 3)2 = 25

(x + 2)2 + (2x + 4)2 = 25

Andengradsligningen løses med CAS-værktøj.

De fundne x-værdier x1 = -4,236 og x2 = 0,236 indsættes i ligningen for linje m

y1 = 2x1 + 7 = 2 ∙ (-4,236) + 7 = -1,472

y2 = 2x2 + 7 = 2 ∙ 0,236 + 7 = 7,472

Vi har nu fundet ud af, at den ene tangent har røringspunktet (xt, yt) = (-4,236 , -1,472). Skæringen med y-aksen er

b1 = yt + 0,5 ∙ xt = -1,472 + 0,5 ∙ (-4,236) = -3,590

Ligningen for denne tangent er derfor

t1 : y = -0,5 ∙ x - 3,590

Den anden tangent har røringspunktet (xt, yt) = (0,236 , 7,472). Ved at beregne skæringen med y-aksen findes ligningen for denne tangent til

t2 : y = -0,5 ∙ x + 7,592

Sætning 16.9.1 - Hældning af ortogonale linjer

Hvis l og m er to ortogonale linjer, så er produktet af deres hældningskoefficienter -1

Bevis for sætning 16.9.1

Lad l og m være to ortogonale linjer med hældningskoefficient hhv. al og am . Vha. hældningskoefficienterne kan vi opskrive en mulig retningsvektor for hver linje

Da linjerne er ortogonale, er skalarproduktet af de to retningsvektorer 0

Ved at indsætte koordinaterne og reducere fås

Hermed er sætning 16.9.1 bevist.

Eksempel 3 - Parameterfremstilling for tangent med bestemt hældningskoefficient

Vi vil nu bestemme parameterfremstillingen for de to tangenter til cirklen med ligningen (x + 2)2 + (y - 3)2 = 25, som har en hældningskoefficient på -0,5.

Da en retningsvektor kan bestemmes ud fra hældningen, kan vi umiddelbart opskrive de to parameterfremstillinger for tangenterne

For at bestemme det kendte punkt i hver af parameterfremstillingerne gør vi igen brug af linjen m, der går gennem begge røringspunkter og cirklens centrum. Vi vil nu opstille en parameterfremstilling for m, hvor vi vil bruge en normalvektor til tangenterne som en retningsvektor. En normalvektor til tangenterne bestemmes ved at beregne tværvektoren til tangenternes retningsvektor

En parameterfremstilling for m kan nu opskrives

Røringspunkternes koordinater bestemmes nu som skæringspunkterne mellem m og cirklen. Hertil indsættes koordinatligningerne fra parameterfremstillingen

i cirklens ligning, som løses med CAS-værktøj

De to parameterværdier indsættes i parameterfremstillingen for linje m, hvorved stedvektorerne ud til røringspunkterne findes.

Vi bemærker, at denne løsningsmetode giver de samme koordinater for røringspunkterne som i eksempel 2. Ved indsættelse af de to stedvektorer fås en parameterfremstilling for de to tangenter, der har en hældningskoefficient på -0,5.

Page updated

Report abuse