Da vi argumenterede for løsningsformlen til andengradsligningen i afsnit 4.7.2, lavede vi på et tidspunkt følgende omskrivning:
4a2∙x2 + 4a∙b∙x + b2 = b2 - 4a∙c
(2a∙x + b)2 = b2 - 4a∙c
Vi omskrev venstre side af lighedstegnet fra at bestå af tre led til at bestå af en parentes, der skal ganges med sig selv. Det kalder man at faktorisere:
Faktorisering: At omskrive et udtryk med led til et udtryk med faktorer.
Faktorer: Noget man ganger med.
Læses kvadratsætningerne fra højre mod venstre, udfører man en faktorisering:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2∙a∙b
(a - b)2 = a2 + b2 - 2∙a∙b
(a + b)∙(a - b) = a2 - b2
Faktorisering af et udtryk behøver ikke at ske med kvadratkomplettering, det kan også ske ved at man identificerer fælles faktorer i forskellige led.
Hvis man udvider udtrykket 2x2 + 10x, så man kan se samtlige faktorer i hvert led, får man
2x2 + 10x = 2∙x∙x + 2∙5∙x
Man kan faktorisere ved at sætte ens faktorer (her 2 og x) uden for en parentes og lade de resterende led med fortegn (her x og 5) stå tilbage i parentesen:
2∙x∙x + 2∙5∙x = 2∙x∙(x + 5)
De oprindelige to led 2x2 og 10x, er nu blevet omskrevet til de tre faktorer 2, x og (x+5).
Faktorisering af udtrykket 8b + 16b2 kan ske ved at gange et 1-tal på første led.
8b + 16b2 = 8∙b∙1 + 2∙8∙b∙b = 8∙b∙(1 + 2∙b)
Hvis man kan faktorisere den generelle andengradsligning, kan man løse ligningen noget smartere end ved at anvende løsningsformlen. I så fald kan man nemlig anvende nulreglen.
Nulreglen siger, at hvis produktet af to tal skal være lig med nul, så kan det kun lade sig gøre, hvis enten det ene tal er lig med nul, eller hvis det andet tal er lig med nul.
Hvis a∙b = 0 så er a = 0 eller b = 0
Nulreglen siger, at hvis
2∙x = 0
så er 2 = 0 eller x = 0.
Da første lighedstegn ikke kan lade sig gøre, er løsningen til ligningen x = 0.
Nulreglen siger, at hvis
x∙y = 0
så er x = 0 eller y = 0.
Nulreglen siger, at hvis
2∙(x - 4) = 0
så er 2 = 0 eller x - 4 = 0.
Da første lighedstegn ikke kan lade sig gøre, findes løsningen til ligningen ud fra x - 4 = 0, dvs. x = 4.
Nulreglen siger, at hvis
y∙(y + 3) = 0
så er y = 0 eller y + 3 = 0.
Dvs. at løsningen til ligningen er y = 0 eller y = -3.
Man kan også anvende nulreglen, hvis der er flere faktorer end to. Nulreglen siger, at hvis
x∙(x - 2)∙(x + 5) = 0
så er x = 0 eller x - 2 = 0 eller x + 5 = 0.
Dvs. at der er tre løsninger til ligningen nemlig x = 0 eller x = 2 eller x = -5.
Følgende eksempler viser situationer, hvor det er let at løse en andengradsligning vha. nulreglen.
Andengradsligninger hvor c = 0 kan faktoriseres ved at "trække fælles faktorer udenfor en parentes":
2x2 + 10x = 0
2∙x∙x + 2∙5∙x = 0
2∙x∙(x + 5) = 0
Vha. nulreglen har andengradsligningen de løsninger som opfylder følgende ligninger
2 = 0 eller x = 0 eller (x + 5) = 0
Dvs.
x = 0 eller x = -5
Står en andengradsligning på formen
(2x + 4)∙(x - 3) = 0
har andengradsligningen ifølge nulreglen de løsninger, som opfylder følgende ligninger
(2∙x + 4) = 0 eller (x - 3) = 0
2∙x = -4 eller x = 3
x = -2 eller x = 3
Hvis man kender rødderne til et andengradspolynomium, lad os kalde dem x1 og x2 , så kan man faktorisere andengradspolynomiet på følgende måde
p(x) = a∙x2 + b∙x + c = a∙( x - x1 )∙( x - x2 )
Hvis andengradspolynomiet kun har en rod, som vi kalder x0 , vil faktoriseringen være
p(x) = a∙x2 + b∙x + c = a∙(x - x0 )2
Man kalder roden x0 for en dobbeltrod.
Hvis andengradspolynomiet ikke har nogle rødder, kan man ikke faktorisere regneforskriften.
Beviset for sætningen om faktorisering af andengradspolynomiet vil ikke blive gennemgået her. Men kort fortalt forløber beviset ved, at man indsætter formlerne for de to rødder
x1 = (-b-√d)/(2a)
og
x2 = (-b+√d)/(2a)
i forskriften p(x) = a∙( x - x1 )∙( x - x2 ). Herefter omskriver man forskriften, indtil den bliver p(x) = a∙x2 + b∙x + c. Herved har man bevist at
a∙( x - x1 )∙( x - x2 ) = a∙x2 + b∙x + c
Vi beregner rødderne for andengradspolynomiet
p(x) = 3x2 - 3x - 6
Vi identificerer koefficienterne a = 3, b = -3 og c = -6, og beregner diskriminanten
d = b2 - 4a∙c = (-3)2 - 4∙3∙(-6) = 9 +72 = 81
Nu kan rødderne beregnes til hhv. x1 = -1 og x2 = 2.
Vha. formlen p(x) = a∙( x - x1 )∙( x - x2 ) kan andengradspolynomiet nu faktoriseres til
p(x) = 3∙(x - (-1))∙(x - 2) = 3∙(x + 1)∙(x - 2)
Får vi oplyst et andengradspolynomium på formen
p(x) = 4∙(x + 5)∙(x - 3)
kan vi let vha. nulreglen bestemme rødderne, fordi rødderne er de x-værdier der opfylder ligningen
p(x) = 0
4∙(x + 5)∙(x - 3) = 0
(x + 5) = 0 eller (x - 3) = 0
x = -5 eller x = 3
Dvs. rødderne til andengradspolynomiet er x1 = -5 og x2 = 3.
Får vi oplyst, at et andengradspolynomium p skærer x-aksen i punkterne (-1, 0) og (7, 0), samt at grafen for p går igennem punktet P(2, 30), kan vi bestemme regneforskriften ud fra de tre punkter.
Da p skærer x-aksen i punkterne (-1, 0) og (7, 0), ved vi at rødderne er x1 = -1 og x2 = 7. Vi kan derfor opskrive
p(x) = a∙(x - (-1))∙(x - 7)
p(x) = a∙(x + 1)∙(x - 7)
Da p går gennem punktet P(2, 30) gælder der
p(2) = 30
Ved at indsætte x = 2 i regneforskriften p(x) fås
a∙(2 + 1)∙(2 - 7) = 30
Parenteserne beregnes og a isoleres
a∙3∙(-5) = 30
-15∙a = 30
a = 30 / -15
a = -2
Regneforskriften for p kan derfor skrives
p(x) = -2∙(x + 1)∙(x - 7)
Vi beregner rødderne for andengradspolynomiet
p(x) = 2x2 + 4x + 2
Vi identificerer koefficienterne a = 2, b = 4 og c = 2, og beregner diskriminanten
d = b2 - 4a∙c = 42 - 4∙2∙2 = 16 - 16 = 0
Nu kan roden beregnes til hhv. x0 = -1.
Vha. formlen p(x) = a∙(x - x0 )2 kan andengradspolynomiet nu faktoriseres til
p(x) = 2∙(x - (-1) )2 = 2∙(x + 1 )2