Embedded Files
Som figur 16.8.1 viser, kan en cirkel og en ret linje have enten to skæringspunker, et skæringspunkt eller ingen skæringspunkter.
Figur 16.8.1a. Ingen skæringspunkter mellem cirklen og linjen.
Figur 16.8.1b. Et skæringspunkt mellem cirklen og linjen.
Figur 16.8.1c. To skæringspunkter mellem cirklen og linjen.
Man kan undersøge hvilken af de tre muligheder, der gælder for en vilkårlig cirkel og ret linje ved at bestemme afstanden af cirklens centrum til linjen og sammenligne denne afstand med cirklens radius. Dette er opsummeret i følgende sætning, som ikke bevises.
Sætning 16.8.1 - Antallet af skæringspunkter mellem cirkel og ret linje
Sætning 16.8.1 - Antallet af skæringspunkter mellem cirkel og ret linje
For cirklen med centrum C og radius r samt linjen l gælder der følgende for antallet af skæringspunkter.
Hvis afstanden mellem cirklens centrum og linjen er mindre end radius, er der to skæringspunkter.
Hvis dist(C,l) < r så 2 skæringspunkter
Hvis afstanden mellem cirklens centrum og linjen er lig end radius, er der et skæringspunkt.
Hvis dist(C,l) = r så 1 skæringspunkt
Hvis afstanden mellem cirklens centrum og linjen er større end radius, er der ingen skæringspunkter.
Hvis dist(C,l) > r så 0 skæringspunkter
Eksempel 1 - Er der skæringspunkter?
Eksempel 1 - Er der skæringspunkter?
Vi vil undersøge om cirklen med ligningen
C: (x - 3)2 + (y - 2)2 = 25
og linjen med ligningen
l: 3x - 1y - 12 = 0
skærer hinanden.
Cirklens centrum og radius aflæses ud fra ligningen til C = (3, 2) og r = 5.
Afstanden mellem punktet C og linjen bestemmes med dist-formlen
I formlen er n1 og n2 koordinaterne for linjens normalvektor, mens x1 og y1 er koordinaterne for cirklens centrum. Fra cirklens og linjens ligninger aflæses at n1 = 3 , n2 = -1 , x1 = 3 og y2 = 2.
Indsættes i formlen fås
Afstanden mellem cirklens centrum og linjen er derfor 1,58. Da denne afstand er mindre end cirklens radius, skærer cirklen og linjen altså hinanden to steder.
Eksempel 2 - Koordinater for skæringspunkterne
Eksempel 2 - Koordinater for skæringspunkterne
Eventuelle skæringspunkter mellem en cirkel og en ret linje bestemmes vha. to ligninger med to ubekendte. Den ene ligning er cirklens ligning, mens den anden ligning er den rette linjes ligning.
Hvis cirklens ligning er
C: (x - 3)2 + (y - 2)2 = 25
og linjens ligning er
l: 3x - 1y - 12 = 0
isoleres y fra linjens ligning
-1y = -3x + 12
y = 3x - 12
Herefter indsættes udtrykket for y i cirklens ligning
(x - 3)2 + (y - 2)2 = 25
(x - 3)2 + (3x - 12 -2)2 = 25
(x - 3)2 + (3x - 14)2 = 25
Der er nu opstået en andengradsligning, som omskrives, så den kan løses med vores løsningsformel
x2 + 32 - 2∙x∙3 + (3x)2 + 142 - 2∙3x∙14 = 25
x2 + 9 - 6x + 9x2 + 196 - 84x = 25
10x2 - 90x + 205 = 25
10x2 - 90x + 180 = 0
x2 - 9x + 18 = 0
Vi identificerer koefficienterne i løsningsformlen til a = 1, b = -9 og c = 18. Dvs. diskriminanten bliver
d = b2 - 4ac = (-9)2 -4∙1∙18 = 81 - 72 = 9
Der indsættes i løsningsformlen
x = ( - b ± √d ) / 2a = ( - (-9) ± √9 ) / 2∙1 = ( 9 ± 3 ) / 2
Skæringspunkternes førstekoordinater er derfor
x1 = 6 ꓦ x2 = 3
For at bestemme skæringspunkternes andenkoordinater indsættes x-værdierne i ligningen for den rette linje
y1 = 3x - 12 = 3∙6 - 12 = 18 - 12 = 6
og
y2 = 3x - 12 = 3∙3 - 12 = 9 - 12 = -3
Cirklen og den rette linje har dermed skæringspunkterne (6 , 6) og (3 , -3).
Page updated
Report abuse