Embedded Files
En sammensat funktion er opbygget af to funktioner, hvor den ene funktion er indsat på x’ets plads i den anden funktion.
Eksempel 1
Funktionen g(x) = (2x + 6)2 er en sammensat funktion, fordi den kan betragtes som funktionen q(x) = 2x + 6 indsat på x'ets plads i funktionen p(x) = x2.
Man kalder q(x) for den indre funktion og p(x) for den ydre funktion.
For at tydeliggøre at den indre funktion er indsat i den ydre funktion, angiver man den ydre funktion som p(q(x)) eller bare p(q) for overskuelighedens skyld.
Funktionen g(x) = (2x + 6)2 er altså en sammensat funktion, hvor den indre funktion er q(x) = 2x + 6 og den ydre funktion er p(q) = q2.
Definition - Sammensat funktion
Definition - Sammensat funktion
Hvis q og p er to funktioner, så er den sammensatte funktion f, som angives med symbolet f = p ○ q, defineret ved
f(x) = (p ○ q)(x) = p(q(x))
Notationen for en sammensat funktion p ○ q udtales "p cirkel q" eller "p bolle q". Genvejskombinationen til cirklen i en formeleditor er "\circ".
Eksempel 2
Skal man beregne funktionsværdien for funktionen fra eksempel 1 når x = 2 får man
g(2) = (2 · 2 + 6)2 = (4 + 6)2 = 102 = 100
Anvendes notationen med den indre og den ydre funktion skriver man:
g(2) = (p ○ q)(2) = p(q(2))
Først beregnes q(2)
q(2) = 2 · 2 + 6 = 4 + 6 = 10
Så beregnes p(10)
p(10) = 102 = 100
Hvis man bytter rundt på den indre og den ydre funktion, får man oftest en anden sammensat funktion end den, man havde før. Det vises med de følgende eksempler.
Eksempel 3
Byttes funktionerne om i eksempel 1, så man har den indre funktion q(x) = x2 og den ydre funktion p(q) = 2 · q + 6, så er den sammensatte funktion
g(x) = (p ○ q)(x) = p(q(x)) = 2 · x2 + 6
Selv hvis den sammensatte funktion består af en indre og en ydre funktion, der er hinandens omvendte funktioner, så får man ikke nødvendigvis den samme sammensatte funktion, hvis der byttes om på den indre og ydre funktion. Det viser eksempel 4.
Eksempel 4
Hvis den indre funktion er
q(x) = √x , hvor x ≥ 0
og den ydre funktion er
p(q) = p2
så er den sammensatte funktion
g(x) = (p ○ q)(x) = p(q(x)) = (√x)2 = x , x ≥ 0
Hvis man bytter rundt på funktionerne, så det er p der indsættes i q får man den sammensatte funktion
f(x) = (q ○ p)(x) = q(p(x)) = √(x2) = |x|
Symbolet |x| læses den numeriske værdi af x. Den numeriske værdi er en funktion der gør, at hvis x er et positivt tal, så sker der ingen ting med x. Men hvis x er et negativt tal, så ændres fortegnet på x.
F.eks. hvis f(x) = |x| og x = 5, så er f(5) = |5| = 5. Men hvis x = -5, så er f(-5) = |-5| = 5.
Graferne for de to sammensatte funktioner er vist i figur 14.4.1a og 14.4.1b.
Figur 14.4.1a. Grafen for g(x) = x, x ≥ 0.
Figur 14.4.1b. Grafen for f(x) = |x|. I GeoGebra angives den numeriske funktion som abs(x) .
CAS-værktøj
CAS-værktøj
Definerer man funktioner i sit CAS-værktøj, kan man uden videre lade computeren bestemme sammensatte funktioner.
WordMat
I WordMat defineres funktionerne g(x) og p(x), hvorefter der indtastes p(g(x)) efterfulgt af Alt + b .
Figur 14.4.2 viser et eksempel.
Figur 14.4.2. Sammensat funktion beregnet i WordMat.
GeoGebra
I GeoGebra arbejdes der i Inputfeltet. Først indtastes regneforskrifterne g(x) og p(x), hvorefter p(g(x)) indtastes.
Figur 14.4.3 viser et eksempel.
Figur 14.4.3. Sammensat funktion beregnet i GeoGebra.
Page updated
Report abuse