Ved et annuitetslån er der en fast ydelse hver termin. Denne form for lån er den mest overskuelige, fordi man betaler det samme beløb hver termin. For at beskrive hvordan lånet tilbagebetales, skal man kende følgende størrelser:

• Hovedstolen, hvortil vi bruger symbolet G.

• Terminsrenten, hvortil vi bruger symbolet r.

• Lånets løbetid angivet ved et antal terminer, hvortil vi bruger symbolet n.

Det første som skal beregnes er ydelsen. Hertil benyttes sætning 5.8.1.

Når ydelsen er beregnet beregnes den renteudgift, man skal betale hver termin, ved at gange restgælden med terminsrenten

Renteudgift = Restgæld · r

Så beregnes afdraget, man skal betale hver termin, ved at trække renteudgiften fra ydelsen

Afdrag = Ydelse - Renteudgift

Til sidst beregnes den nye restgæld ved at trække afdraget fra den gamle restgæld.

Ny restgæld = Gammel restgæld - Afdrag

Beviset for sætning 5.8.1 vises efter følgende eksempel.

Eksempel 5.8.1

Lasse har brug for 12.000 kr. til et kørekort. Lasse laver en aftale med sine forældre om, at han kan låne pengene af dem som et annuitetslån over 4 år til en rente på 5% pr år. Dvs. at vi har følgende størrelser G = 12.000 kr., r = 5%, og n = 4.

Ydelsen beregnes med gældsformlen

y = 12.000 kr. · 0,05 / ( 1 - (1 + 0,05)^-4 ) = 3.384,14 kr.

For at bestemme rentebeløbet beregner man hvor stor en procentdel rentefoden udgør af den gæld, som man har tilbage hver termin inden afdraget er betalt.

Efter det første år:

Da Lasse endnu ikke har afdraget på sin gæld, er restgælden lig med hovedstolen.
Vi kan derfor beregne følgende:

Renteudgift = G · r = 12.000 kr. · 0,05 = 600 kr.

Afdrag = Ydelse - Renteudgift = 3.384,14 kr. - 600 kr. = 2.784,14 kr.

Restgæld = Hovedstol - Afdrag = 12.000 kr. - 2.784,14 kr. = 9.215,86 kr.

Efter det andet år:

Renteudgift = Restgæld · r = 9.215,86 kr. · 0,05 = 460,79 kr.

Afdrag = Ydelse - Renteudgift = 3.384,14 kr. - 460,79 kr. = 2.923,35 kr.

Ny restgæld = Gammel restgæld - Afdrag = 9.215,86 kr. - 2.923,35 kr. = 6.292,51 kr.

Sådan kan man fortsætte beregningerne de næste to år, indtil restgælden er kommet ned på 0 kr.

Man kan med fordel lave beregningerne med et regneark, og udfylde en tabel som vist på figur 5.8.1. Nederst i regnearket er alle renteudgifter blevet lagt sammen, så man kan se den pris, Lasse skal betale for lånet. Det koster altså Lasse 1.536,57 kr. at låne de 12.000 kr. Figur 5.8.2 viser, at afdraget stiger, som årene går, fordi renteudgiften falder.

Ved at sammenligne de samlede renteudgifter i dette eksempel med dem fra eksempel 5.7.1 kan vi se, at annuitetslånet er 36,57 kr. dyrere for Lasse end serielånet. Det er den pris Lasse må betale for en mere overskuelig tilbagebetalings ordning, hvor ydelsen er konstant.

Bevis for sætning 5.8.1

I dette bevis betragtes udviklingen af restgælden på kontoen. Efter hver termin tilskrives først renter, hvorefter ydelsen betales.

Gælden efter nul terminer

G₀ = G

Gælden efter første termin

G₁ = G · (1 + r) - y

Gælden efter anden termin

G₂ = G₁ · (1 + r) - y = ( G · (1 + r) - y ) · (1 + r) - y

Ved at gange (1 + r) ind i parentesen ( G · (1 + r) - y ) og reducere fås

G₂ = ( G · (1 + r) · (1 + r) - y · (1 + r) ) - y

G₂ = G · (1 + r)² - y · (1 + r) - y

Gælden efter tredje termin

G₃ = G₂ · (1 + r) - y = ( G · (1 + r)² - y · (1 + r) - y ) · (1 + r) - y

Ved at gange (1 + r) ind i parentesen ( G · (1 + r)² - y · (1 + r) - y ) og reducere fås

G₃ = ( G · (1 + r)² · (1 + r) - y · (1 + r) · (1 + r) - y · (1 + r) ) - y

G₃ = G · (1 + r)³ - y · (1 + r)² - y · (1 + r) - y

Man kan fortsætte ovenstående fremgangsmåde for de efterfølgende terminer. Det sidste udtryk for G₃ kan derfor generaliseret til et udtryk for gælden efter n'te ydelse

G_n = G · (1 + r)ⁿ - y · (1 + r)^n-1 - y · (1 + r)^n-2 - ∙∙∙ - y · (1 + r) - y

Da gælden er tilbagebetalt efter n'te termin er G_n = 0, dvs. at udtrykket kan omskrives til

0 = G · (1 + r)ⁿ - y · (1 + r)^n-1 - y · (1 + r)^n-2 - ∙∙∙ - y · (1 + r) - y

G · (1 + r)ⁿ isoleres ved at lægge alle de andre led til på hver side af lighedstegnet

0 + y · (1 + r)^n-1 + y · (1 + r)^n-2 + ∙∙∙ + y · (1 + r) + y = G · (1 + r)ⁿ - y · (1 + r)^n-1 - ∙∙∙ - y · (1 + r) - y + y · (1 + r)^n-1 + y · (1 + r)^n-2 + ∙∙∙ + y · (1 + r) + y

y · (1 + r)^n-1 + y · (1 + r)^n-2 + ∙∙∙ + y · (1 + r) + y = G · (1 + r)ⁿ

Der ganges med (1 + r) på hver side af lighedstegnet og venstre side reduceres efterfølgende ved at gange (1 + r) ind i parentesen

( y · (1 + r)^n-1 + y · (1 + r)^n-2 + ∙∙∙ + y · (1 + r) + y ) · (1 + r) = G · (1 + r)ⁿ · (1 + r)

y · (1 + r)^n-1 · (1 + r) + y · (1 + r)^n-2 · (1 + r) + ∙∙∙ + y · (1 + r) · (1 + r) + y · (1 + r) = G · (1 + r)ⁿ · (1 + r)

y · (1 + r)ⁿ + y · (1 + r)^n-1 + ∙∙∙ + y · (1 + r)² + y · (1 + r) = G · (1 + r)ⁿ · (1 + r)

Nu trækkes G · (1 + r)ⁿ fra på begge sider

y · (1 + r)ⁿ + y · (1 + r)^n-1 + ∙∙∙ + y · (1 + r)² + y · (1 + r) - G · (1 + r)ⁿ = G · (1 + r)ⁿ · (1 + r) - G · (1 + r)ⁿ

På venstre side erstattes G · (1 + r)ⁿ med det røde udtryk ovenfor

y · (1 + r)ⁿ + y · (1 + r)^n-1 + ∙∙∙ + y · (1 + r)² + y · (1 + r) - ( y · (1 + r)^n-1 + y · (1 + r)^n-2 + ∙∙∙ + y · (1 + r) + y ) = G · (1 + r)ⁿ · (1 + r) - G · (1 + r)ⁿ

På venstre side hæves den røde minusparentes

y · (1 + r)ⁿ + y · (1 + r)^n-1 + ∙∙∙ + y · (1 + r)² + y · (1 + r) - y · (1 + r)^n-1 - y · (1 + r)^n-2 - ∙∙∙ - y · (1 + r) - y = G · (1 + r)ⁿ · (1 + r) - G · (1 + r)ⁿ

På venstre side reduceres leddene

y · (1 + r)ⁿ - y = G · (1 + r)ⁿ · (1 + r) - G · (1 + r)ⁿ

På venstre side ganges y med 1 og på højre side ganges G · (1 + r)ⁿ også med 1

y · (1 + r)ⁿ - y · 1 = G · (1 + r)ⁿ · (1 + r) - G · (1 + r)ⁿ · 1

På venstre side flyttes y udenfor en parentes og på højre side flyttes G · (1 + r)ⁿ udenfor en parentes

y · ( (1 + r)ⁿ - 1 ) = G · (1 + r)ⁿ · ( (1 + r) - 1 )

Der reduceres på højre side

y · ( (1 + r)ⁿ - 1 ) = G · (1 + r)ⁿ · ( 1 + r - 1 )

y · ( (1 + r)ⁿ - 1 ) = G · (1 + r)ⁿ · r

y isoleres ved at dividere med ( (1 + r)ⁿ - 1 )

y = G · (1 + r)ⁿ · r / ( (1 + r)ⁿ - 1 )

Brøken på højre side forlænges med (1 + r)^-n

Først rokeres der lidt rundt på faktorerne i tælleren, mens der ganges ind i parentesen i nævneren. Herefter benyttes potensregneregel 1.

Til sidst benyttes at en potens med nul som eksponent er lig med 1.

Hermed er sætningen bevist.