Embedded Files
Når et tal gentagne gange multipliceres med sig selv, skrives det kort som en potens. F.eks. skriver vi 34 i stedet for 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3.
I potensen 34 kaldes 3 for grundtallet og 4 for eksponenten.
Definition 4.5.1 - Potens
Definition 4.5.1 - Potens
Med skrivemåden an forstår man
an = a ∙ a ∙ a ∙ ... ∙ a hvor der er n faktorer
a kaldes grundtallet og n kaldes eksponenten.
Eksponenten angiver hvor mange gange grundtallet skal ganges med sig selv.
Sætning 4.5.1 - Potensregneregler
Sætning 4.5.1 - Potensregneregler
Hvis a og b er to reelle tal (a ϵ R og b ϵ R), og hvis m og n er to naturlige tal (m ϵ N og n ϵ N), så gælder følgende fem regneregler:
Eksempel 4.5.1 - Brug af potensregnereglerne
Eksempel 4.5.1 - Brug af potensregnereglerne
Regneregel 1:
34 ∙ 36 = 34+6 = 310
Regneregel 2:
(-4)7 / (-4)2 = (-4)7-2 = (-4)5
Regneregel 3:
25 ∙ 35 = (2 ∙ 3)5 = 65
Regneregel 4:
68 / 38 = (6/3)8 = 28
Regneregel 5:
(25)4 = 25∙4 = 220
Potenser med en eksponent på nul og negative eksponenter
Potenser med en eksponent på nul og negative eksponenter
Potensregneregel nummer 2 i sætning 4.5.1 giver mulighed for, at man kan have negative eksponenter, hvis m < n. Hvis f.eks. at a = 3, m = 4 og n = 6 så giver regnereglen at
34 / 36 = 34 - 6 = 3-2
Umiddelbart giver negative eksponenter ikke mening, for hvordan skal man forstå et tal multipliceret med sig selv et negativt antal gange? Rent matematisk kan vi dog godt tillægge negative eksponenter en mening.
Betragt tabellen med titalspotenserne i figur 4.5.1 og tag udgangspunkt i tallet 102. For hver skridt vi går opad i tabellen vokser eksponenten med 1, hvilket svarer til at tallets værdi ganges med potensens grundtal 10.
Figur 4.5.1. Titalspotenser.
Hvis vores udgangspunkt i stedet for er tallet 106, vil et skridt nedad i tabellen svare til at eksponenten falder med 1 og at tallets værdi divideres med potensens grundtal 10. Hvis vi fortsætter denne systematik ned gennem tabellen, kommer vi på et tidspunkt ned til nederste række, hvor vi skal dividere 100 med 10, hvilket svarer til at vi skal trække 1 fra eksponenten 2. Altså skal eksponenten i nederste række være 2 - 1 = 1.
Vi kan nu gøre rede for, at vi skal fortolke 101 som 10. Dette er indskrevet i tabellen i figur 4.5.2, hvor de efterfølgende overvejelser også er indskrevet.
Vi trækker endnu en gang 1 fra eksponenten, så den bliver lig med 1 - 1 = 0. Så skal vi dividere 10 med 10, hvilket giver 1.
Vi kan nu gøre rede for, at vi skal fortolke 100 som 1.
Vi trækker endnu en gang 1 fra eksponenten, så den bliver lig med 0 - 1 = -1. Så skal vi dividere 1 med 10, hvilket giver 1/10.
Vi kan nu gøre rede for, at vi skal fortolke 10-1 som 1/10.
Vi trækker endnu en gang 1 fra eksponenten, så den bliver lig med -1 - 1 = -2. Så skal vi dividere 1/10 med 10, hvilket giver 1/100.
Vi kan nu gøre rede for, at vi skal fortolke 10-2 som 1/100.
Vi kan fortsætte argumentationen og udbygge tabellen i figur 4.5.1 til tabellen som ses i figur 4.5.2.
Figur 4.5.2. Udvidede titalspotenser.
I eksemplet ovenfor var grundtallet 10, men argumentationen kan gennemføres med ethvert grundtal. Derfor kan vi generalisere os frem til en forståelse af potenser med en eksponent på nul og potenser med negative eksponenter, som vist i figur 4.5.3.
Eksponenter behøver ikke være hele tal. Men for at kunne forstå det, bliver man nødt til at have viden om rødder, som beskrives i afsnit 4.6.
Figur 4.5.3. Definition af potenser med nul som eksponent og potenser med negative eksponenter.
Page updated
Report abuse