Matematik B-niveau

10.4 Ln(x)

Den naturlige logaritme, ln(x)

Den naturlige logaritme er den omvendte funktion til eksponentialfunktionen f(x) = ex . Vi opskriver funktionen som en sammenhæng mellem x og y:

y = ex

Eulers tal har som tidligere nævnt den tilnærmede værdi e = 2,718281828459045...

Den naturlige logaritme og Eulers tal opfører sig i forhold til hinanden på præcis samme måde som 10-tals-logaritmen og tallet 10 gør. Så vi opskriver med det samme definitionen på den naturlige logaritme.

Definition - Den naturlige logaritme

For en positiv y-værdi, defineres den naturlige logaritme til y, som det tal x, der opfylder at

ln(y) = x hvis der gælder at y = ex

Specielt gælder der følgende to udtryk

(1) ln(ex) = x

(2) eln(y) = y

Af de to sidste udtryk i definitionen ses, at "den naturlige logaritme" og "at opløfte e i noget" ophæver hinanden.

Eksempel 10

For at løse ligningen

ln(2x + 3) = 0

bruger vi udtryk (2) i definitionen ved først at sætte hver side af lighedstegnet op som eksponent med Eulers tal som grundtal

e ln(2x + 3) = e0

Venstre side i ligningen reduceres

2x + 3 = e0

Højre side omskrives vha. definitionen af en potens med eksponent nul

2x + 3 = 1

Herefter løses ligningen på sædvanlig vis

2x + 3 - 3 = 1 - 3

2x = -2

2x / 2 = -2 / 2

x = -1

Eksempel 11

For at løse ligningen

e 4x - 5 = 15

bruger vi udtryk (1) i definitionen ved først at tage den naturlige logaritme på hver side af lighedstegnet

ln(e 4x - 5) = ln(15)

Venstre side i ligningen reduceres

4x - 5 = ln(15)

Herefter løses ligningen på sædvanlig vis

4x - 5 + 5 = ln(15) + 5

4x = ln(15) + 5

4x / 4 = (ln(15) + 5) / 4

x = (ln(15) + 5) / 4

Højre side i ligningen beregnes med computer, da vi ikke kan beregne ln(15) i hovedet

x = 1,93

Den naturlige logaritme i værktøjsprogram

For at anvende den naturlige logaritme i WordMat skriver man kommandoen "ln" efterfulgt af et tryk på mellemrumstasten.

I feltet bag "ln" kan man skrive en parentes eller lade være. Parentesen kan være med til at tydeliggøre, hvad det er, der tages logaritmen af.

Figur 10.4.1 viser hvordan man gør.

Figur 10.4.1. Beregning af ln(e2) med WordMat.

I GeoGebra kan man anvende den naturlige logaritme i funktioner. Man kan bruge en af de to kommandoer "log_e( )" eller "ln( )".

Figur 10.4.2 viser hvordan man gør.

Figur 10.4.2. Anvendelse af den naturlige logaritme i funktioner i GeoGebra.

Formler i formelsamlingen

De tre regneregler for 10-tals-logaritmen gælder også for den naturlige logaritme

Regneregel 1 - formel (89)

ln(a · b) = ln(a) + ln(b)

Regneregel 2 - formel (90)

ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

Regneregel 3 - formel (91)

ln(a r) = r · ln(a)

Desuden gælder:

ln(1) = 0

ln(e) = 1

Regnereglerne for den naturlige logaritme bevises på præcis samme måde som regnereglerne for 10-tals-logaritmen, dog skifter man bare 10 ud med e og log ud med ln. Vi undlader at skrive beviserne her.

Page updated

Report abuse