I afsnit 4.3 så vi i eksempel 4.3.1, hvordan kvadratsætningerne anvendes til at omskrive "kvadratet af en to-ledet størrelse" til et udtryk med tre led. Dette afsnit handler om, hvordan man går den anden vej, altså hvordan man omskriver et udtryk med tre led til "kvadratet af en to-leddet størrelse". Metoden kalder man kvadratkomplettering.
Bemærk at man generelt ikke kan kvadratkomplettere et udtryk med tre led. Vi betragter kun de tilfælde, hvor det er muligt.
Vi kommer til at bruge første og anden kvadratsætning, så dem genopfrisker vi lige her:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2∙a∙b
(a - b)2 = a2 + b2 - 2∙a∙b
Metoden lader sig bedst forklare med eksempler:
Vi vil argumentere for, at udtrykket bestående af de tre led x2 + 2x + 1 kan omskrives til (x + 1)2. Vi skal altså vise at
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Trin 1
Mellem de tre led står to plusser. Derfor kan vi bruge første kvadratsætning:
(a + b)2 = a2 + b2 + 2∙a∙b
Trin 2
Højre side af kvadratsætningen består af to kvadrattal (a2 og b2) og det dobbelte produkt (2∙a∙b).
Derfor leder vi efter led, der opfylder dette i udtrykket x2 + 2x + 1.
Trin 3
Det første kvadrattal kunne være x2. Derfor vælger vi a = x.
Trin 4
Det andet kvadrattal kunne være 1, fordi 1 = 12. Derfor vælger vi b = 1.
Trin 5
Hvis valget af a og b i trin 3 og trin 4 er korrekt, skal det dobbelte produkt være lig med det sidste led 2x.
Vi kontrollerer: 2∙a∙b = 2∙x∙1 = 2∙x.
Konklusion
Da vi fik det ønskede i trin 5, var valget af a og b korrekt. Vi har altså vist at
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Vi vil omskrive udtrykket 4x2 - 4x + 1 til kvadratet på en to-ledet størrelse.
Trin 1
Mellem de tre led står et plus og et minus. Derfor kan vi bruge anden kvadratsætning.
(a - b)2 = a2 + b2 - 2∙a∙b
Trin 2
Højre side af kvadratsætningen består af to kvadrattal (a2 og b2) og det dobbelte produkt (2∙a∙b).
Derfor leder vi efter led, der opfylder dette i udtrykket 4x2 - 4x + 1.
Bemærk at da vi her arbejder med anden kvadratsætning, så skal det dobbelte produkt være leddet med det negative fortegn.
Trin 3
Det første kvadrattal kunne være 4x2, fordi 4x2 = (2x)2. Derfor vælger vi a = 2x.
Trin 4
Det andet kvadrattal kunne være 1, fordi 1 = 12. Derfor vælger vi b = 1.
Trin 5
Med valget af a og b i trin 3 og trin 4 kan vi kontrollere, at omskrivningen er korrekt ved at sikre os, at 2∙a∙b er lig med det sidste led 4x.
Vi kontrollerer: 2∙a∙b = 2∙2x∙1 = 4∙x.
Konklusion
Da vi fik det ønskede i trin 5, var valget af a og b korrekt. Vi har altså vist at
4x2 - 4x + 1 = (2x - 1)2