Embedded Files
For at lave en matematisk beskrivelse af en harmonisk svingning tager vi udgangspunkt i en cirkel. Cirklen, der er vist i figur 12.1.1, tegnes i koordinatsystemet med centrum i (0,0) og med en radius på 1. Denne cirkel kaldes enhedscirklen, fordi radius er lig med en enhed i koordinatsystemet.
Som vist på figur 12.1.2 sættes et punkt på enhedscirklens periferi med koordinatsættet (1,0). Dette punkt kaldes for retningspunktet, fordi dets opgave er, at angive hvilken retning i forhold til centrum vi betragter. Når retningspunktet befinder sig i (1,0), siger vi, at vinklen i forhold til x-aksen er 0°. Denne position af retningspunktet gives symbolet P0 , hvor nullet svarer til vinklen. Vinklen, der hører til retningspunktet, kaldes retningsvinklen.
Figur 12.1.1. Enhedscirklen.
Man bevæger nu retningspunktet rundt på cirkelperiferien. Bevæges retningspunktet mod urets retning, kaldes det for positiv omløbsretning, fordi koordinatsystemets kvadranter herved gennemløbes fra 1. til 4. Retningsvinklen vokser altså fra 0° til 360° i løbet af en periode, hvorefter retningspunktet igen vil have koordinaterne (1,0). Dvs. at P360 = P0 .
Man kan også bevæge retningspunktet med urets retning, men så kalder man det for negativ omløbsretning. Retningsvinklen vil i denne situation falde fra 0° til -360° i løbet af en periode. Dvs. at P-360 = P0 .
Da en matematisk model kun indeholder en uafhængig variabel og retningspunktet indeholder to uafhængige variabel, vil vi nøjes med at kigge på retningspunktets y-værdi. Når retningspunktet har bevæget sig en periode, vil y-værdien også have bevæget sig en periode. Y-værdien starter i 0, bevæger sig op til 1, herefter ned til -1, og tilbage til 0.
Figur 12.1.2. Forskellige retningspunkter med tilhørende retningsvinkler i enhedscirklen.
Sinusfunktionen
Sinusfunktionen
Punkterne på figur 12.1.3 angiver en række sammenhørende værdier for retningsvinklen og retningspunktets y-værdi i intervallet fra 0° til 720°. Man har opfundet en funktion, der angiver y-værdien af retningspunktet som funktion af retningsvinklen v. Denne funktion kaldes sinus til vinklen, som forkortes sin(v). Hvis man laver en sinus-regression over punkterne fremkommer sinusfunktionen. Det er den bølgende grønne kurve på figur 12.1.3, der går gennem alle punkterne. På figuren er definitionsmængden for sinusfunktionen ikke begrænset til de to positive omløb fra 0° til 720°.
Figur 12.1.3. Sinusregression over et punktplot af retningspunktets y-værdi som funktion af retningsvinklen.
Grafen over sinusfunktionen viser, at retningspunktet kan bevæges et uendeligt antal gange rundt i både positiv og negativ omløbsretning. Sinusfunktionen er altså en periodisk funktion med definitionsmængde ] - ∞ ; ∞ [ og værdimængde [-1 ; 1].
Cosinusfunktionen
Cosinusfunktionen
Man har også opfundet en funktion, der angiver x-værdien af retningspunktet som funktion af retningsvinklen v. Denne funktion kaldes cosinus til vinklen, og den forkortes cos(v). Cosinusfunktionen er også en periodisk funktion med definitionsmængde ] - ∞ ; ∞ [ og værdimængde [-1 ; 1].
Figur 12.1.4 viser et udsnit af sinus- og cosinusfunktionen. Her ses, at hvis sinusfunktionen forskydes til venstre med 90°, så fås cosinusfunktionen.
Figur 12.1.4. Sinus- og cosinusfunktionen i samme koordinatsystem.
Overgangsformler
Overgangsformler
Da sinus- og cosinusfunktionen er en vandret parallelforskydning af hinanden, kan man opstille nogle formler for sammenhængen mellem deres funktionsværdier. Disse formler kaldes overgangsformler, fordi man ved hjælp af disse kan gå fra et udtryk med den ene funktion over til et udtryk med den anden funktion. Her omtales to overgangsformler, som vi får brug for i forbindelse med emnet om vektorer.
Figur 12.1.5 viser at cos(60°) = sin(150°). Vha. figuren kan man overbevise sig om, at der for en hvilken som helst vinkel v gælder at
cos(v) = sin(v + 90°)
Figur 12.1.5. Illustration af overgangsformlen cos(v) = sin(v + 90°).
Figur 12.1.6 viser at sin(60°) = -cos(150°). Vha. figuren kan man overbevise sig om, at der for en hvilken som helst vinkel v gælder at
sin(v) = -cos(v + 90°)
Figur 12.1.6. Illustration af overgangsformlen sin(v) = -cos(v + 90°).
Retningspunktets koordinater
Retningspunktets koordinater
Definitionerne på sin(v) og cos(v) giver anledning til følgende definition.
Definition - Retningspunktets koordinater
Definition - Retningspunktets koordinater
Det retningspunkt på enhedscirklen, der hører til retningsvinklen v, har koordinaterne
Pv = ( cos(v) ; sin(v) )
Figur 12.1.7. Retningspunktets koordinater.
Page updated
Report abuse