Embedded Files
Eksempel 1
Sidst i afsnit 14.1 bestemte vi med GeoGebra, at tangentligningen i røringspunktet P(0,5 ; f(0,5)) til funktionen f(x) = x2 + 1 er givet ved
t: y = x + 0,75
Vi vil nu analysere os frem til denne ligning vha. den afledte funktion.
Først vil vi beregne, at tangentens hældningskoefficient er at = 1
Den afledte funktion f '(x) er jo en formel til beregning af tangenthældningen i et vilkårligt røringspunkt. Ved at anvende formel (123) får vi
f '(x) = (x2 + 1)' = (x2)' + (1)'
Ved at anvende formel (128) og formel (133) får vi
f '(x) = 2 · x + 0 = 2 · x
Når vi har et konkret røringspunkt, kalder vi dette røringspunkts x-værdi for x0 . Den generelle skrivemåde for tangentens hældningskoefficient i dette konkrete røringspunkt er
f '(x0 ) = 2 · x0
Da røringspunktet i dette tilfælde er P(0,5 ; f(0,5)) sættes x0 = 0,5. Vi kan nu beregne tangentens hældningskoefficient
at = f '(0,5 ) = 2 · 0,5 = 1
Dernæst vil vi beregne, at tangens skæringspunkt med y-aksen er bt = 0,75
Formlen til beregning af b-værdien for en ret linje findes i formelsamlingen. Formel (81):
b = y1 - a · x1
Da den rette linje er tangenten, sætter vi a = at . Som punkt på linjen vælger vi røringspunktet, dvs. at vi sætter x1 = x0 og y1 = f(x1) = f(x0 ). Vi kan altså beregne bt -værdien med formlen
bt = f(x0) - at · x0
I dette tilfælde får vi
bt = f(0,5) - 1 · 0,5 = (0,52 + 1) - 1 · 0,5 = (0,25 + 1) - 0,5 = 1,25 - 0,5 = 0,75
Konklusion
Vi har nu analyseret os frem til at tangentens ligning er givet ved
t: y = at · x + bt = 1 · x + 0,75
Sætning 14.5.1 - Tangentens ligning - formel (121) i formelsamlingen
Sætning 14.5.1 - Tangentens ligning - formel (121) i formelsamlingen
Ligningen for en tangent til funktionen f hvor tangenten går gennem røringspunktet P(x0 ; f(x0 )) kan skrives som
y = at · x + bt hvor at = f '(x0 ) og bt = f(x0) - at · x0
og som
y = f '(x0 ) · (x - x0 ) + f(x0 )
Bevis for sætning 14.5.1
Bevis for sætning 14.5.1
Den første udgave af tangentens ligning analyserede vi os frem til i eksempel 1.
For at bevise den anden udgave af tangentens ligning omskriver vi den første udgave
y = at · x + bt
Udtrykket for bt indsættes
y = at · x + ( f(x0 ) - at · x0 )
Udtrykket for at indsættes
y = f '(x0 ) · x + ( f(x0 ) - f '(x0 ) · x0 )
Parentesen hæves
y = f '(x0 ) · x + f(x0 ) - f '(x0 ) · x0
Rækkefølgen af de to sidste led byttes rundt
y = f '(x0 ) · x - f '(x0 ) · x0 + f(x0 )
De to første led har f '(x0 ) som en fælles faktor. Denne faktor sættes udenfor en parentes
y = f '(x0 ) · (x - x0 ) + f(x0 )
Hermed er anden udgave af sætning 14.5.1 bevist.
Eksempel 2
Vi vil bestemme ligningen for tangenten til grafen for funktionen f(x) = x2 + 1, i det røringspunkt hvor førstekoordinaten er x0 = -2.
Da vi vil indsætte i formlen y = f '(x0 ) · (x - x0 ) + f(x0 ) skal vi have beregnet f '(x0 ) og f(x0 ):
f '(x0) = (x02 + 1)' = (x02)' + (1)' = 2 · x0 + 0 = 2 · x0
Dvs.
f '(-2) = 2 · (-2) = -4
f(x0 ) = x02 + 1
Dvs.
f(-2) = (-2) 2 + 1 = 4 + 1 = 5
Vi kan nu indsætte i formlen
y = f '(x0 ) · (x - x0 ) + f(x0 ) = f '(-2 ) · (x - (-2) ) + f(-2 )
y = -4 · (x + 2 ) + 5 = -4x - 8 + 5 = -4x - 3
Vi ender med ligningen y = -4x - 3 hvilket er det samme, som GeoGebra fandt frem til i figur 14.1.2.
CAS-værktøj
CAS-værktøj
Hvis vi først definerer regneforskriften og røringspunktet i vores værktøjsprogram, kan tangentligningen
y = f '(x0 ) · (x - x0 ) + f(x0 ) beregnes på følgende måde
Indtastningen i WordMat laves som vist på figur 14.5.1. Resultatet fås ved at taste Alt + b .
Indtastningen i GeoGebra laves som vist på figur 14.5.2. Først de to linjer i Algebravinduet, derefter ligningen i CAS-værktøjet, hvor y'et efter kommaet angiver, at det er y-variablen vi vil beregne. Resultatet fås ved at trykke på Beregn-knappen.
Figur 14.5.1. Tangentligningen i WordMat.
Figur 14.5.2. Tangentligningen i GeoGebra.
Figur 14.5.3. Resultatet af beregningen i figur 14.5.1.
Figur 14.5.4. Resultatet af beregningen i figur 14.5.2.
Eksempel 3 - Tangentligningen når hældningen er kendt
Vi betragter en situation hvor funktionen f er givet ved
f(x) = x2 - 2x + 4
Vi vil bestemme ligningen for den tangent til grafen for f, som har hældningen at = 6. Tangentligningen ser ud som
t: y = at · x + bt
så vi mangler bare at bestemme bt med formlen
bt = f(x0) - at · x0
Vi har dog et problem, idet vi ikke kender x0. Så bt kan ikke beregnes (endnu). Situationen er som vist i figur 14.5.5. Da x0 er den x-værdi, der ved indsættelse i den afledte funktion giver en værdi på 6 (fordi at = 6), kan vi bestemme x0 ved at løse følgende ligning
f '( x0 ) = 6
Først bestemmes f '( x )
f '( x ) = ( x2 - 2x + 4 )' = ( x2 )' - (2x + 4)' = 2x - 2
Så kan vi angive f '( x0 )
f '( x0 ) = 2x0 - 2
Figur 14.5.5. Hvilken x0-værdi har røringspunktet, når at tangentens hældning er 6? Svaret findes ved at løse ligningen f '( x0 ) = 6.
Vi kan nu løse ligningen
f '( x0 ) = 6
2x0 - 2 = 6
2x0 = 8
x0 = 4
Herefter kan vi beregne bt med formlen
bt = f(x0) - at · x0 = f(4) - 6 · 4 = (42 - 2 · 4 + 4) - 6 · 4 = (16 - 8 + 4) - 24 = -12
Tangentligningen er derfor givet ved
t: y = 6x - 12
Eksempel 4 - Flere tangenter med samme hældningen
Nogle funktioner har forskellige tangenter med samme hældning. Det er f.eks. tilfældet med funktionen g, som er givet ved
g(x) = x3 + 2x2 - 4x + 2
På figur 14.5.6 kan man se, at de to tangenter har samme hældning. Vi vil bestemme ligningen for de to tangent til grafen for g, som har hældningen at = 3.
Først bestemmer vi x-værdien i de to røringspunkter x1 og x2 ved at løse ligningen
g'(x) = 3
Løses ligningen i et værktøjsprogram, findes
x1 = -2,33 og x2 = 1
Herefter beregnes bt for de to tangenter og tangentligningerne opstilles.
Figur 14.5.6. De to tangenter er parallelle og har derfor den samme hældningskoefficient. Røringspunkternes x-værdi bestemmes ved at løse ligningen g'(x) = 3.
Tangenten i P1
bt = f(x1) - at · x1 = f(-2,33) - 3 · (-2,33) = 9,52
t1: y = 3x + 9,52
Tangenten i P2
bt = f(x2) - at · x2 = f(1) - 3 · (1) = 1
t2: y = 3x + 1
Page updated
Report abuse