Embedded Files
Vækstegenskaben for en eksponentiel funktion kan bruges til at bestemme regneforskriften for en eksponentiel funktion. Når vi skal bestemme en regneforskrift for en eksponentiel funktion, betyder det, at vi skal beregne værdien af a og b i forskriften
f(x) = b ∙ a x
Vi starter med et eksempel.
Eksempel 1: Mælkeprisen
I perioden fra september 2018 til april 2021 solgte Arla-mejeriet konventionel mælk til ca. 250 øre pr. kg med ganske små variationer. Men derefter steg mælkeprisen voldsomt. Figur 8.3.1 viser hvordan prisen på konventionel mælk fra Arla-mejeriet udviklede sig i perioden fra september 2018 til november 2022.
Specielt mellem april 2021 og juni 2022 steg på en måde, som tydeligvis ikke er lineær (den orange del af kurven). Den absolutte tilvækst er lav i starten af perioden og stor i slutningen af perioden. Dette kunne tyde på, at vi har at gøre med en eksponentiel vækst, hvor der er en konstant relativ tilvækst.
Hvis vi antager, at prisen på konventionel mælk i denne periode har været eksponentielt voksende, kan vi bestemme en funktion, der kan modellere udviklingen i perioden fra den 1. april 2021 til den 1. juni 2022.
Figur 8.3.1. Arla-mejeriets pris på konventionel mælk i perioden fra sep. 2018 til nov. 2022.
Vi ved, at mælkens kilopris den 1. august 2021 var 272,3 øre og 418,0 øre den 1. juni 2022. Oplysningerne skrives ind i tabellen på figur 8.3.2, hvor datoen er angivet i antal dage efter 1. april 2021.
Figur 8.3.2. Data over mælkeprisen.
Vi starter med at beregne a-værdien ved at bestemme den absolutte ændring af x-værdien:
∆x = x2 - x1 = 426 - 122 = 304
Ved at indsætte vores oplysninger i sætningen 8.2.1 om vækstegenskab får vi
y2 = y1 ∙ aΔx
403,8 = 272,3 ∙ a304
For at bestemme a divideres der først med 272,3 på hver side af lighedstegnet
403,8 / 272,3 = a304
1,4829 = a304
Herefter tages den 304. rod på hver side af lighedstegnet
304√(1,4829) = a
1,0013 = a
Vi har nu fundet a-værdien, som vi altid angiver med 4 decimaler.
For at beregne b-værdien indsætter vi den netop beregnede a-værdi sammen med x1- og y1-værdien i ligningen for den eksponentielle vækst
y1 = b ∙ ax1
272,3 = b ∙ 1,0013122
Vi dividerer med 1,0013122 på hver side af lighedstegnet
272,3 / 1,0013122 = b
232,4 = b
Vi har nu fundet b-værdien, som vi angiver med lige så mange decimaler, som vores y-værdier har.
Konklusion
Regneforskriften for den eksponentielle funktion, der beskriver kiloprisen målt i øre for konventionel mælk i perioden fra den 1. april 2021 til den 1. juni 2022, er
f(x) = 232,4 ∙ 1,0014x
hvor x angiver tiden målt i antal dage fra den 1. april 2021.
Fremskrivningsfaktoren, a, er 1,0013. Det betyder, at mælkeprisen er vokset med 0,13% pr. dag i perioden.
I denne model for prisudviklingen på mælk kan vi se, at startværdien, b, er 232,4. Det betyder, at prisen på mælk den 1. april 2021 ifølge modellen var 232,4 øre. Men hvis vi sammenligner med figur 8.3.1, kan vi se, at det er for lavt i forhold til den virkelige pris. Den fundne eksponentielle model beskriver nok ikke helt udviklingen i kiloprisen for Arlas konventionelle mælk.
Eksempel 1 kan let generaliseres, så vi får følgende sætning:
Sætning 8.3.1 - To-punktsformlen for eksponentiel funktion
Sætning 8.3.1 - To-punktsformlen for eksponentiel funktion
Hvis sammenhængen mellem to variable x og y er eksponentiel, og vi kender to par af sammenhørende værdier:
x1 og y1 samt x2 og y2
så er regneforskriften
f(x) = b ∙ ax
hvor a og b beregnes som vist til højre.
Bevis for sætning 8.3.1
Bevis for sætning 8.3.1
Da vi ved, at den eksponentielle sammenhæng indeholder de to talpar x1 og y1 samt x2 og y2 , kan vi tegne grafen for sammenhængen gennem punkterne P(x1 ; y1) og Q(x2 ; y2). Figur 8.3.3 viser situationen hvor a > 1.
Vi tager udgangspunkt i vækstegenskaben for den eksponentielle vækst, hvor y2-værdien kan beregnes ud fra y1-værdien, a-værdien og den absolutte forskel mellem x-værdierne ∆x = x2 - x1 :
y2 = y1 ∙ aΔx
For overskuelighedens skyld bytter vi om på de to sider af lighedstegnet
y1 ∙ aΔx = y2
For at bestemme formlen for a divideres hver side af lighedstegnet med y1
aΔx = y2 / y1
Så tages den ∆x'te rod på hver side af lighedstegnet
a = Δx√(y2 / y1)
Til sidst indsættes ∆x = x2 - x1 og vi har fundet formlen:
a = (x2-x1)√(y2 / y1)
Figur 8.3.3. Eksponentiel sammenhæng med a > 1.
For at bestemme formlen for b starter vi med at indsætte talparret x1 og y1 i ligningen for den eksponentielle sammenhæng
y1 = b ∙ ax1
For overskuelighedens skyld bytter vi om på de to sider af lighedstegnet
b ∙ ax1 = y1
Herefter divideres der med ax1 på hver side af lighedstegnet og vi har fundet formlen:
b = y1 / ax1
Hvis vi havde valgt at indsætte talparret x2 og y2 i ligningen for den eksponentielle sammenhæng, var vi kommet frem til den anden formel for b.
Eksempel 2: Brug af to-punktsformlen
Om en bestemt eksponentiel sammenhæng, f(x) = b ∙ ax, gælder at f(2) = 6 og f(5) = 13. Vi skal bestemme regneforskriften for sammenhængen.
Konstanterne a og b beregnes ved hjælp af sætning 8.3.1.
Da f(2) = 6 aflæses at x1 = 2 og y1 = 6.
Da f(5) = 13 aflæses at x2 = 5 og y2 = 13.
Disse værdier indsættes i formlen til beregning af a:
Vi vil nu bruge a = 1,2940 til at bestemme b. Vi beregner b med begge formler ved at benytte x1 og y1 samt ved at benytte x2 og y2 :
Bemærk at de to beregnede værdier for b ikke stemmer overens på 4. decimal. Det skyldes, at vi har benyttet en afrundet værdi for a. Men hvis vi er tilfredse med en nøjagtighed på tre decimaler, er der ingen forskel på resultaterne. Vi finder derfor at b = 3,583.
Den eksponentielle vækst er således givet ved
f(x) = 3,583 ∙ 1,2940x
Page updated
Report abuse