Embedded Files
Vi vil her tage udgangspunkt i eksponentialfunktionen hvor b = 1, dvs.
f(x) = ax
Grundtallet a kan have alle tænkelige positive værdier. En ganske særlig værdi for a er Eulers tal, som har symbolet og værdien e = 2,718281828459045… Eulers tal er ligesom π et uendeligt tal, der ikke kan skrives som en brøk. Hvis vi sætter a = e, kaldes eksponentialfunktionen f(x) = ex for den naturlige eksponentialfunktion. Man anvender ofte Eulers tal som grundtal, fordi ex har nogle særlige egenskaber indenfor det matematiske felt, som kaldes for differentialregning. Differentialregning lærer I om i 2.g.
Enhver eksponentialfunktion kan omskrives til at indeholde Eulers tal. Betragt f.eks. funktionen
g(x) = 10x
Da 10 = e2,302585... kan funktionen også skrives
g(x) = (e2,302585...)x = e2,302585∙x
Ligegyldigt hvilket grundtal a man har, kan man altid skrive det som Eulers tal opløftet i en eller anden konstant, k.
a = ek
For at isolere konstanten k, bruger man den naturlige logaritme på følgende måde
k = ln(a)
Argumentet for dette kan forstås, når logaritmefunktionerne er behandlet.
Eksempel 1
Vi skal omskrive eksponentialfunktionen f(x) = 3x til at stå på formen f(x) = ekx.
Vi bestemmer k ved at beregne
k = ln(a) = ln(3) = 1,09861...
Dvs.
f(x) = e1,09861∙x
Eksempel 2
Vi skal omskrive eksponentialfunktionen g(x) = e3x til at stå på formen g(x) = ax.
Her beregner vi blot vha. potensregneregel 5
g(x) = e3x = (e3)x = 20,0855x
CAS-værktøj
CAS-værktøj
Skal man anvende Eulers tal i sit værktøjsprogram kan man indtaste "e" eller "exp()". Den sidste notation kan med fordel bruges, hvis Eulers tal er grundtallet i en potens, og eksponenten ligeså er en potens. På figur 8.7.1 er exp()-notationen den mest elegante.
Oftest kan begge notationer bruges i CAS-værktøjet. Det ses i figur 8.7.2 med et eksempel fra WordMat. Men andre gange går det ikke, som figur 8.7.3 viser. I GeoGebras CAS-værktøj genkendes e-notationen ikke, når værdien forsøges beregnet.
Figur 8.7.1. To CAS-notationer for Eulers tal.
Figur 8.7.2. Eulers tal med WordMat.
Figur 8.7.3. Eulers tal med GeoGebra.
Når man skal tegne grafer og indtaste regneforskriften i inputfeltet, kan GeoGebra godt håndtere begge notationer. På figur 8.7.4 er regneforskriften for f indskrevet med e, mens regneforskriften for g er indskrevet med exp. I Algebravinduet har GeoGebra selv omskrevet exp til e, men til forskel fra e'et i forskriften for f er e'et i forskriften for g angivet med kursiv.
Figur 8.7.4. Ved indtastning af funktioner i GeoGebra kan man anvende begge notationer for Eulers tal.
Regneforskrift med Eulers tal
Regneforskrift med Eulers tal
En eksponentiel funktion f(x) = b ∙ ax kan angives med Eulers tal i stedet for a-værdien. Da a = ek vil regneforskriften så komme til at stå på formen f(x) = b ∙ ekx.
Den eksponentielle forskrift med Eulers tal bruges i særdeleshed, når den uafhængige variabel x angiver en tidsenhed. Derfor ser man ofte forskriften skrevet som
N(t) = b ∙ ekt
hvor t angiver tiden og N(t) kunne være et antal, der afhænger af tiden. Eksponenten k∙t , som Eulers tal er opløftet i, skal være en størrelse uden enhed. Hvis t angiver en tid målt i timer, skal k derfor have enheden time-1 eller 1/time. Størrelsen k kaldes for vækstkonstanten.
k's betydning for grafen
En eksponentiel funktion er voksende hvis a > 1. Hvis regneforskriften for den eksponentielle funktion står på formen f(x) = b ∙ ekx vil der gælde at
ek > 1
fordi a = ek . Uligheden er opfyldt når k > 0.
For en voksende eksponentiel funktion på formen f(x) = b ∙ ekx vil der altså gælde at k > 0.
En eksponentiel funktion er aftagende hvis 0 < a < 1. Hvis regneforskriften for den eksponentielle funktion står på formen f(x) = b ∙ ekx vil der gælde at
0 < ek < 1
fordi a = ek . Uligheden er opfyldt når k < 0.
For en aftagende eksponentiel funktion på formen f(x) = b ∙ ekx vil der altså gælde at k < 0.
Sætning 8.7.1 - Fordoblingskonstant
Sætning 8.7.1 - Fordoblingskonstant
Hvis en eksponentiel funktion er voksende og angivet ved en regneforskrift, som står på formen f(x) = b ∙ ekx , kan fordoblingskonstanten beregnes med formlen
T2 = ln(2) / k
Denne sætning står som formel 105 i formelsamlingen.
Sætning 8.7.2 - Halveringskonstant
Sætning 8.7.2 - Halveringskonstant
Hvis en eksponentiel funktion er aftagende og angivet ved en regneforskrift, som står på formen f(x) = b ∙ ekx , kan halveringskonstanten beregnes med formlen
T1/2 = ln(1/2) / k
Denne sætning står som formel 112 i formelsamlingen.
Eksponentiel regression
Eksponentiel regression
Man ser ofte, at den eksponentielle model på formen N(t) = b ∙ ekt anvendes ved eksponentielle regressioner. Skal man lave en sådan regression på et datasæt, skal man i GeoGebra vælge regressionsmodellen Exponentiel.
Eksempel
En bakteriekultur har udviklet sig som angivet i tabellen i figur 8.7.5.
Figur 8.7.5. Antallet af bakterier er blevet målt hvert 20. minut.
På figur 8.7.6 er data indtastet i GeoGebras regneark. Som regressionsmodel er "Exponentiel" blevet valgt. Modellen der beskriver bakteriekulturens udvikling som funktion af tiden er
N(t) = 78,5 ∙ e0,0241∙t
For denne bakteriekultur er vækstkonstanten k = 0,0241 min-1 .
Bakteriekulturens fremskrivningsfaktor er
a = e0,0241 = 1,0244
hvilket svarer til en vækstrate på
r = a - 1 = 1,0244 - 1 = 0,0244 = 2,44%
For hvert minut der går, vokser antallet af bakterier altså med 2,44%.
Figur 8.7.6. Antallet af bakterier er blevet modelleret med en eksponentiel funktion, der står på formen N(t) = b ∙ ekt .
Bemærk at vækstkonstanten k = 0,0241 min-1 ikke siger noget om væksten pr tid, selv om den i dette tilfælde er tæt på vækstraten r = 2,44% pr minut. Vækstraten angiver 1 divideret med den tid, der skal gå, for at væksten bliver e = 2,7182 gange større. En divideret med tiden kalder man også den reciprokke tid.
Der går altså 1 / (0,0241 min-1) = 41,5 min før bakteriekulturen bliver 2,72 gange større.
Page updated
Report abuse