Matematik B-niveau - 8.6 Fordobling og halvering

8.6 Fordobling og halvering

Fordoblingskonstant

I mange situationer, hvor man har at gøre med en eksponentiel voksende funktion, er det interessant at undersøge, hvor meget x-værdien skal vokse med, for at y-værdien fordobles.

Eksempelvis har funktionen

f(x) = 5 ∙ 2x

en fremskrivningsfaktor på a = 2. Dvs. at den relative vækst er 2, når x-værdien vokser med 1. Det vil med andre ord sige, at y-værdien bliver fordoblet, hver gang x-værdien vokser med 1. Vi udtrykker det ved hjælp af begrebet fordoblingskonstant.

Definition 8.6.1 - Fordoblingskonstant

Fordoblingskonstanten er den absolutte x-tilvækst, Δx, der skal til for, at y-værdien fordobles i en eksponentiel vækst. Vi anvender symbolet T2 til at angive fordoblingskonstanten. Hvis Δx = x2 - x1 er fordoblingskonstanten

T2 = x2 - x1

Figur 8.6.1 viser, hvordan y-værdien er blevet fordoblet fra y1 til y2 = 2y1. Den tilhørende forskel i x-værdi Δx kaldes fordoblingskonstanten.

Figur 8.6.1. Fordoblingskonstanten T2 angiver den x-tilvækst, der giver en fordobling af y-værdien.

Eksempel

Vi vil undersøge fordoblingskonstanten for funktionen

f(x) = 3 ∙ 1,2x

Vi ved, at funktionen er voksende, fordi a-værdien er større end 1. Derfor giver det mening at tale om fordoblingskonstanten. Hvis vi starter med en tilfældig x-værdi x1 = 1, så har vi funktionsværdien

f(x1) = f(1) = 3 ∙ 1,21 = 3 ∙ 1,2 = 3,6

I en eller anden x-værdi er funktionsværdien blevet fordoblet i forhold til f(1) = 3,6, dvs. den nye funktionsværdi er 7,2. Vi kender ikke x-værdien, så vi kalder den for x2. Dette kan vi udtrykke som

f(x2) = 2 ∙ f(x1) = 2 ∙ 3,6 = 7,2

For at bestemme værdien af x2 kan vi løse ligningen

3 ∙ 1,2 x2 = 7,2

Løses ligningen med CAS-værktøj får vi x2 = 4,80.

Fordoblingskonstanten er den absolutte x-tilvækst. I dette eksempel startede vi med x1 = 1 og sluttede med x2 = 4,80. Det svarer til en absolut x-tilvækst på

Δx = x2 - x1 = 4,80 - 1 = 3,80

Fordoblingskonstanten er altså T2 = 3,80.

Fordoblingstid

Hvis den uafhængige variabel x angiver en tid, taler man om fordoblingstid i stedet for fordoblingskonstant. Fordoblingstiden angiver det tidsrum der går, før den afhængige variabel er blevet fordoblet.

Sætning 8.6.1 - Fordoblingskonstant

Fordoblingskonstanten (eller fordoblingstiden), T2 , for en eksponentiel voksende funktion

f(x) = b ∙ ax

hvor a > 1 kan beregnes med formlerne

T2 = log(2) / log(a)

T2 = ln(2) / ln(a)

Denne sætning står som formel 105 i formelsamlingen.

Bemærk: Symbolet "log" står for "10-tals-logaritmen", mens "ln" står for "den naturlige logaritme". Logaritmerne er en særlig type af funktioner, som vi kommer tilbage til i et senere kapitel. Indtil videre er det bare en kommando man skal skrive i sit CAS-værktøj. Beviset for sætningen kan forstås, når logaritmefunktionerne er behandlet.

Halveringskonstant

For eksponentiel aftagende funktioner er det interessant at undersøge, hvor meget x-værdien skal vokse med, for at y-værdien halveres. Vi udtrykker det ved hjælp at begrebet halveringskonstant.

Definition 8.6.2 - Halveringskonstant

Halveringskonstanten er den absolutte x-tilvækst, Δx, der skal til for, at y-værdien halveres i en eksponentiel vækst. Vi anvender symbolet T½ til at angive halveringskonstanten. Hvis Δx = x2 - x1 er halveringskonstanten

T½ = x2 - x1

Figur 8.6.2 viser hvordan y-værdien er blevet halveret fra y1 til y2 = 1/2 y1. Den tilhørende forskel i x-værdi Δx kaldes halveringskonstanten.

Figur 8.6.2. Halveringskonstanten T½ angiver den x-tilvækst, der giver en halvering af y-værdien.

Eksempel

Vi vil undersøge halveringskonstanten for funktionen

g(x) = 4 ∙ 0,2x

Vi ved, at funktionen er aftagende, fordi a-værdien er mellem 0 og 1. Derfor giver det mening at tale om halveringskonstanten. Hvis vi starter med en tilfældig x-værdi x1 = 1, så har vi funktionsværdien

g(x1) = g(1) = 4 ∙ 0,21 = 4 ∙ 0,2 = 0,8

I en eller anden x-værdi er funktionsværdien blevet halveret i forhold til g(1) = 0,8, dvs. den nye funktionsværdi er 0,4. Vi kender ikke x-værdien, så vi kalder den for x2. Dette kan vi udtrykke som

g(x2) = 0,5 ∙ g(x1) = 0,5 ∙ 0,8 = 0,4

For at bestemme værdien af x2 kan vi løse ligningen

4 ∙ 0,2 x2 = 0,4

Løses ligningen med CAS-værktøj får vi x2 = 1,43.

Halveringskonstanten er den absolutte x-tilvækst. I dette eksempel startede vi med x1 = 1 og sluttede med x2 = 1,43. Det svarer til en absolut x-tilvækst på

Δx = x2 - x1 = 1,43 - 1 = 0,43

Fordoblingskonstanten er altså T½ = 0,43.

Halveringstid

Hvis den uafhængige variabel x angiver en tid, taler man om halveringstid i stedet for halveringskonstant. Halveringstiden angiver det tidsrum der går, før den afhængige variabel er blevet halveret.

Sætning 8.6.2 - Halveringskonstant

Halveringskonstanten (eller halveringstiden), T½ , for en eksponentiel aftagende funktion

f(x) = b ∙ ax

hvor 0 < a < 1 kan beregnes med formlerne

T½ = log(½) / log(a)

T½ = ln(½) / ln(a)

Denne sætning står som formel 112 i formelsamlingen.

Følgende beviser kan forstås, når logaritmefunktionerne er behandlet.

Bevis for sætning 8.6.1- Fordoblingskonstant

Hvis vi har følgende to punkter (x1 , y1) og (x2 , y2) på grafen for en eksponentiel voksende funktion, så gælder ligningerne

y1 = b ∙ ax1

y2 = b ∙ ax2

Hvis vi endvidere forlanger, at y2 skal være dobbelt så stor som y1 , så gælder

y2 = 2 ∙ y1

b ∙ ax2 = 2 ∙ b ∙ ax1

Vi isolerer 2-tallet ved division på hver side af lighedstegnet med b ∙ ax1

( b ∙ ax2 ) / ( b ∙ ax1 ) = 2

Herefter forkortes der med b

ax2 / ax1 = 2

Nu bruges potensregneregel (19)

ax2-x1 = 2

Da y2 er dobbelt så stor som y1 ved vi fra definitionen af fordoblingskonstanten at T2 = x2 - x1. Dvs. at vi kan omskrive til

aT2 = 2

Da vi er interesserede i en formel for fordoblingskonstanten,, vil vi isolere T2 vha. 10-tals-logaritmens regneregel 3

log(aT2) = log(2)

T2 ∙ log(a) = log(2)

Vi isolerer T2 og har dermed bevist den første formel

T2 = log(2) / log(a)

Den anden formel kan bevises, hvis vi i stedet for at bruge 10-tals-logaritmens tredje regneregel bruger den tilsvarende regneregel for den naturlige logaritme

aT2 = 2

ln(aT2) = ln(2)

T2 ∙ ln(a) = ln(2)

T2 = ln(2) / ln(a)

Bevis for sætning 8.6.2- Halveringskonstant

Hvis vi har følgende to punkter (x1 , y1) og (x2 , y2) på grafen for en eksponentiel aftagende funktion, så gælder ligningerne

y1 = b ∙ ax1

y2 = b ∙ ax2

Hvis vi endvidere forlanger, at y2 skal være halvt så stor som y1 , så gælder

y2 = ½ ∙ y1

b ∙ ax2 = ½ ∙ b ∙ ax1

Vi isolerer den halve ved division på hver side af lighedstegnet med b ∙ ax1

( b ∙ ax2 ) / ( b ∙ ax1 ) = ½

Herefter forkortes der med b

ax2 / ax1 = ½

Nu bruges potensregneregel (19)

ax2-x1 = ½

Da y2 er halvt så stor som y1 ved vi fra definitionen af halveringskonstanten at T½ = x2 - x1. Dvs. at vi kan omskrive til

aT½ = ½

Da vi er interesserede i en formel for halveringskonstanten, vil vi isolere T½ vha. 10-tals-logaritmens regneregel 3

log(aT½) = log(½)

T½ ∙ log(a) = log(½)

Vi isolerer T½ og beviser dermed den første formel

T½ = log(½) / log(a)

Den anden formel kan bevises, hvis vi i stedet for at bruge 10-tals-logaritmens tredje regneregel bruger den tilsvarende regneregel for den naturlige logaritme

aT½ = 2

ln(aT½) = ln(½)

T½ ∙ ln(a) = ln(½)

T½ = ln(½) / ln(a)

Page updated

Report abuse