Embedded Files
Optimering handler om at bestemme ekstrema for en matematisk model. Det kunne enten være en model over en fortjeneste, som man ønsker at maksimere, eller en model over nogle udgifter, som man ønsker at minimere.
Følgende eksempel viser hvordan en model kan opstilles og hvordan den afledte funktion bruges til at bestemme ekstrema.
Eksempel 17.3.1 Fremstilling af cylindrisk beholder
Eksempel 17.3.1 Fremstilling af cylindrisk beholder
En producent af energidrikke skal fremstille en beholder til en af sine produkter. Beholderen skal have form som en cylinder, hvori der skal være plads til 0,6 L væske. I de følgende betragtninger antages, at der ikke er et luftrum over væsken inde i beholderen.
Da man kan lave mange cylindriske beholdere med et rumfang på 0,6 L, opstiller vi en formel for rumfanget
V = A ∙ h = π ∙ r2 ∙ h , r > 0 , h > 0
hvor A er arealet af cylinderens grundflade, r er radius i cylinderens grundflade og h er cylinderens højde.
Da V = 0,6 L = 600 cm3 ender vores formel for producentens cylindre med følgende sammenhæng mellem radius og højden
600 = π ∙ r2 ∙ h , r > 0 , h > 0
hvor alle længder er målt i cm.
Figur 17.3.1. Cylindermodel af beholderen.
Producenten vil gerne minimere udgifterne til det aluminium, som beholderen skal laves af. Et krav kunne være, at cylinderen skal have et så lille overfladeareal som muligt. Derfor opstilles en formel for cylinderens overfladeareal
O = Oendeflader + Osideflade
Overfladearealet af endefladerne er
Oendeflader = 2 ∙ A = 2 ∙ π ∙ r2
Overfladearealet af sidefladen kan bestemmes, hvis vi forestiller os den krumme flade skåret op langs en linje parallelt med rotationsaksen som vist på figur 17.3.2 og foldet ud. Vi ser nu, at figuren bliver en rektangel med højde h og bredde lig med omkredsen af cylinderen, l = 2 ∙ π ∙ r.
Osideflade = l ∙ h = 2 ∙ π ∙ r ∙ h
Dvs.
O = 2 ∙ π ∙ r2 + 2 ∙ π ∙ r ∙ h
Figur 17.3.2. Foldes den krumme side ud, får den form som et rektangel.
For at komme videre har vi brug for at overfladearealet kun afhænger af en variabel. Derfor anvender vi sammenhængen mellem radius og højde, hvor højden isoleres
600 = π ∙ r2 ∙ h
h = 600 / ( π ∙ r2 )
Udtrykket for højden indsættes i formlen for overfladearealet, som nu kun afhænger af en variabel.
O(r) = 2 ∙ π ∙ r2 + 2 ∙ π ∙ r ∙ h
O(r) = 2 ∙ π ∙ r2 + 2 ∙ π ∙ r ∙ 600 / ( π ∙ r2 )
O(r) = 2 ∙ π ∙ r2 + 1200 / r
For at undersøge om overfladearealet har en minimum beregnes først den afledte funktion O'(r)
O'(r) = ( 2 ∙ π ∙ r2 + 1200 / r )'
O'(r) = ( 2 ∙ π ∙ r2 )' + ( 1200 / r )'
O'(r) = 2 ∙ π ∙ ( r2 )' + 1200 ∙ ( 1 / r )'
O'(r) = 2 ∙ π ∙ ( 2 ∙ r ) + 1200 ∙ ( - 1 / r2 )
O'(r) = 4 ∙ π ∙ r - 1200 / r2
For at finde vandrette tangenter løses ligningen
O'(r) = 0
4 ∙ π ∙ r - 1200 / r2 = 0
4 ∙ π ∙ r = 1200 / r2
4 ∙ π ∙ r3 = 1200
r3 = 1200 / ( 4 ∙ π )
r = 4,57
Til sidst laves fortegnslinjen for O'(r), hvor vi husker at r > 0. Først vurderes fortegnet på O'(0,1) og dernæst O'(10):
O'(0,1) = 4 ∙ π ∙ 0,1 - 1200 / 0,12 = 4 ∙ π / 10 - 1200 ∙ 100 ≈ 1 - 120000 < 0
O'(10) = 4 ∙ π ∙ 10 - 1200 / 102 = 4 ∙ π ∙ 10 - 1200 / 100 ≈ 100 - 12 > 0
I vurderingen er der brug følgende tilnærmelse 4 ∙ π ≈ 10.
Konklusion
Fortegnslinjen viser, at af alle cylindre med et rumfang på 0,6 L så har cylinderen med radius r = 4,6 cm det mindst mulige overfladeareal.
Cylinderens højde kan bestemmes vha. formlen
h = 600 / ( π ∙ r2 ) = 600 / ( π ∙ 4,572 ) = 9,14 cm
Bemærk at h = 2 ∙ r. Dvs. at cylinderen med det mindst mulige overfladeareal har en højde, der er lig med diameteren.
Det mindst mulige overfladeareal beregnes til
O(4,6) = 2 ∙ π ∙ 4,62 + 1200 / 4,6 = 394 cm2
Page updated
Report abuse