Matematik B-niveau

13.7 Determinant

Når man bestemmer determinanten af to vektorer, får man et resultat, som er et tal. Determinanten af vektor a og vektor b angives med et af de to symboler, som er vist på figur 13.7.1.

Figur 13.7.1. Symbol for determinanten af vektor a og vektor b.

Definition 13.7.1 - Determinant

Ved determinanten af vektor a og vektor b forstås skalarproduktet af tværvektoren til vektor a og vektor b

Sætning 13.7.1 - Determinant vha. koordinater

Determinanten af vektor a og vektor b beregnes ved at trække produktet af vektor b's førstekoordinater og vektor a's andenkoordinat fra produktet af vektor a's førstekoordinater og vektor b's andenkoordinat

Bevis for sætning 13.7.1

Hvis man beregner determinanten af vektor a og vektor b vha. vektorernes koordinater får man følgende udtryk

Hermed er sætning 13.7.1 bevist.

Huskeregel

Determinant-notationen med de lodrette streger kan bruges til en huskeregel, så man får regnet med koordinaterne i den korrekte rækkefølge. Figur 13.7.2 illustrerer at hvis man bevæger sig langs den røde pil, skal man først finde produktet af koordinaterne langs den første diagonal og herfra trække (den vandrette bevægelsen mod venstre minder om et minustegn) produktet af koordinaterne langs den anden diagonal.

Figur 13.7.2. Huskeregel for udregning af determinanten.

Eksempel 13.7.1

For at bestemme determinanten af

beregnes

Det er vigtigt at holde styr på vektorernes rækkefølge ved bestemmelse af determinanten. Hvis man kommer til at bytte rundt på rækkefølgen af vektorerne, vil determinanten ændre fortegn, hvilket følgende sætning beskriver.

Sætning 13.7.2 - Vektorernes rækkefølge

Determinanten af vektor a og vektor b er lig med den negative determinant af vektor b og vektor a.

Bevis for sætning 13.7.2

Hvis man beregner determinanten af vektor b og vektor a vha. vektorernes koordinater får man bevist sætningen:

Sætning 13.7.3 - Determinant vha. længder og vinkel

Determinanten kan bestemmes ved at gange længden af de to vektorer med hinanden og med sinus til vinklen fra vektor a til vektor b.

Figur 13.7.3. Determinant vha. længder og vinkel.

Vi vil ikke bevise sætning 13.7.3. I stedet ser vi på, hvordan man kan anvende den.

Hvis man kender koordinaterne for vektor a og vektor b, kan man umiddelbart bruge sætning 13.7.2 til at beregne vinklen fra vektor a til vektor b. Men det er ikke tilrådeligt at gøre, fordi der altid vil være to vinkler, som opfylder ligningen. Det viser følgende eksempel.

Eksempel 13.7.2 - Bestemmelse af vinkel med determinantformlen

Vi vil beregne vinklen mellem de to vektorer vist i figur 13.7.3a ved at lade WordMat løse den ligning der opstår ved benyttelse af sætning 13.7.3.

WordMat har tilsyneladende regnet forkert, idet vi får en spids vinkel, mens den faktiske vinkel tydeligvis er stump.

Figur 13.7.3a. Vinklen mellem de to vektorer er stump.

Vi kan analysere hvor fejlen opstår, hvis vi indsætter et koordinatsystem med origo i vektorernes begyndelsespunkter og tegner enhedscirklen. Ved at omskrive sætning 13.7.3 ses, at vi faktisk beder WordMat om at finde den vinkel, hvortil sinusværdien er 0,4472

Figur 13.7.3b. Den søgte vinkel svarer til retningsvinklen til retningspunkt B1. Sinusværdien til denne vinkel er 0,4472.

Som figur 13.7.3c viser, er der to vinkler, som opfylder

sin(v) = 0,4472

Hvis man spejler retningspunkt B1 i y-aksen, fås retningspunkt B2 med den tilhørende retningsvinkel w, som også opfylder at

sin(w) = 0,4472.

WordMat giver os altså vinkel w i stedet for vinkel v.

Figur 13.7.3c. Der findes to vinkler som opfylder sin(v) = 0,4472.

Vi kan indstille WordMat til at give os alle de mulige vinkler som opfylder sin(v) = 0,4472. Indstillingerne ændres under WordMat-fanebladet som vist på figur 13.7.3d.

Anvendes WordMat nu til at bestemme vinklen fås følgende:

De to mulige vinkler på 26,57° og 153,43° ses i løsningen. Der er lagt Z ∙ 360 til hver vinkel, hvor Z skal læses som mængden af de naturlige tal. Det betyder at Z kan antage værdierne

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

hvilket svarer til, at vi bevæger os et vilkårligt antal hele gange rundt på enhedscirklen både i positiv og i negativ omløbsretning og stadig lander i de samme retningspunkter.

Selv om vi nu får bestemt begge vinkler, kan vi kun vide hvilken en af dem, der er den korrekte, hvis vi tegner dem.

Figur 13.7.3d. Indstilling af WordMat til at give alle vinkler i ligninger med sinus, cosinus eller tangens.

Konklusion

Når man skal beregne vinklen mellem to vektorer, skal man ikke anvende sætning 13.7.3, der indeholder determinanten af de to vektorer. Derimod anbefales det, at man anvender sætning 13.5.4, der indeholder skalarproduktet af de to vektorer.

Sætning 13.7.4 - Determinant og parallelle vektorer

Hvis to egentlige vektorer er parallelle, så er determinanten af dem nul.

Hvis determinanten af egentlige vektorer er nul, så er vektorerne parallelle.

Bevis for sætning 13.7.4

Hvis to egentlige vektorer er parallelle, er vinklen mellem dem 0° eller 180°.

Hvis man beregner determinanten af sådanne to vektorer giver resultatet altid nul, fordi sin(0°) = sin(180°) = 0. Det er uanset vektorernes længde.

Hermed er sætningens første del bevist. Udledningen er vist herunder med symboler.

Hvis determinanten af to egentlige vektorer er nul, må mindst én af de tre faktorer på højre side af lighedstegnet i figur 13.7.3 være lig med nul.

Da længden af de egentlige vektorer altid er forskellig fra nul, er sin(v) = 0.

Da vi leder efter de mindste positive vinkler, som er løsningen til ligningen sin(v) = 0, er løsningen v = 0° eller v = 180°.

Når vinklen mellem de to vektorer er 0° eller 180°, er vektorerne parallelle.

Hermed er sætningens anden del bevist. Udledningen er vist herunder med symboler.

Determinant og parallelogram

To vektorer siges at udspænde et parallelogram. Hermed forstår man, at to vektorer tegnes fra samme begyndelsespunkt, og at de hver især herefter tegnes fra den anden vektors endepunkt. Figur 13.7.4 viser situationen.

Arealet af parallelogrammet AP kan beregnes vha. determinanten af vektorerne som vist i sætning 13.7.5.

Bemærk at den numeriske værdi af determinanten indgår i formlen. Det er bekvemt, for så betyder rækkefølgen, af den måde hvorpå vektorerne indsættes i formlen, ikke noget. Jævnfør sætning 13.7.2 der siger, at determinanten skifter fortegn, hvis vektorernes rækkefølge byttes rundt.

Figur 13.7.4. Vektor a og vektor b udspænder et parallelogram med et areal AP .

Sætning 13.7.5 - Determinant og parallelogram

Arealet af det parallelogram AP som vektor a og vektor b udspænder er lig med den numeriske værdi af determinanten af vektor a og vektor b.

Bevis for sætning 13.7.5

Figur 13.7.5 viser parallelogrammet udspændt af vektor a og vektor b, hvor vektor a udgør parallelogrammets grundlinje. Længden af vektor a er dermed lig med parallelogrammets længde.

Figuren viser også tværvektoren til vektor a og projektionen af vektor b ind på tværvektoren til vektor a.

Da projektionsvektoren står vinkelret på vektor a, er længden af projektionsvektoren lig med parallelogrammets højde.

Da arealet af et parallelogram beregnes som længde gange højde, må der gælde at

Figur 13.7.5. Parallelogram udspændt af vektor a og vektor b.

Vha. sætning 13.6.1 kan vi erstatte længden af projektionsvektoren på følgende måde

Da vektor a og tværvektoren til vektor a har samme længde, kan vi omskrive til

Vha. definitionen af determinanten kan vi omskrive til

Hermed er sætning 13.7.5 bevist.

Sætning 13.7.6 - Determinant og trekant

Arealet af den trekant AT som vektor a og vektor b udspænder er lig med halvdelen af den numeriske værdi af determinanten af vektor a og vektor b.

Bevis for sætning 13.7.6

Parallelogrammet udspændt af vektor a og vektor b kan opdeles i to kongruente trekanter, der ligeledes er udspændt af vektor a og vektor b.

Da trekanterne er kongruente er deres areal ens. Trekantens areal må derfor være halvdelen af parallelogrammets areal.

AT = 0,5 ∙ AP

Hermed er sætning 13.7.6 bevist.

Figur 13.7.6. Vektor a og vektor b udspænder en trekant med et areal AT .

Page updated

Report abuse